式 $9a^2 + 4b^2 - 25c^2 + 12ab + 30c - 9$ を因数分解します。

## 問9 (1) の解答

1. 問題の内容

式 $9a^2 + 4b^2 - 25c^2 + 12ab + 30c - 9$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。$a$と$b$に関する項をまとめ、平方完成を目指します。

$9a^2 + 12ab + 4b^2$ の部分は $(3a+2b)^2$ であり、残りの部分を整理します。

与式 $= (9a^2 + 12ab + 4b^2) - 25c^2 + 30c - 9$

$= (3a+2b)^2 - (25c^2 - 30c + 9)$

次に、括弧内の $25c^2 - 30c + 9$ は $(5c-3)^2$ と変形できます。

与式 $= (3a+2b)^2 - (5c-3)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の形なので、因数分解できます。ここで、$A = 3a+2b$、$B = 5c-3$ とおくと、

与式 $= (3a+2b + (5c-3))(3a+2b - (5c-3))$

$= (3a+2b+5c-3)(3a+2b-5c+3)$

3. 最終的な答え

$(3a+2b+5c-3)(3a+2b-5c+3)$

## 問9 (2) の解答

1. 問題の内容

式 $(x^2+4x+2)(x-2)(x+6) + 2x^2 + 8x - 24$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2+4x+2)(x-2)(x+6)$ の部分を展開します。

$(x-2)(x+6) = x^2 + 6x - 2x - 12 = x^2 + 4x - 12$

したがって、

$(x^2+4x+2)(x^2+4x-12)$ となります。

ここで、$X = x^2+4x$ とおくと、

$(X+2)(X-12) = X^2 - 10X - 24$

もとの式は、

$X^2 - 10X - 24 + 2x^2 + 8x - 24$

$X = x^2+4x$ を代入すると、

$(x^2+4x)^2 - 10(x^2+4x) - 24 + 2x^2 + 8x - 24$

$= x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 10x^2 - 40x - 24 + 2x^2 + 8x - 24$

$= x^4 + 8x^3 + 8x^2 - 32x - 48$

ここで、与式は $2x^2 + 8x - 24 = 2(x^2 + 4x - 12) = 2(x-2)(x+6)$ と変形できます。

元の式に代入して、

$(x^2+4x+2)(x-2)(x+6) + 2(x-2)(x+6)$

$(x-2)(x+6)(x^2+4x+2+2) = (x-2)(x+6)(x^2+4x+4)$

$(x-2)(x+6)(x+2)^2$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x+6)(x+2)^2$