数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$（$n$ は正の整数）で定義されているとき、一般項 $a_n$ を $a_n = \text{ア} + n(\text{イ})$ の形で表し、さらに数列 $\{a_n\}$ の第7項の値を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$（$n$ は正の整数）で定義されているとき、一般項 $a_n$ を $a_n = \text{ア} + n(\text{イ})$ の形で表し、さらに数列 $\{a_n\}$ の第7項の値を求める問題。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n$ から、階差数列を考える。階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_n = a_{n+1} - a_n = 2n$ である。

したがって、$n \ge 2$ のとき、

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a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k

$$$$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ であるから、

$$$$

a_n = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1

$$$$

これは $n=1$ のときも $a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ を満たす。

よって、$a_n = n^2 - n + 1$ である。

したがって、$a_n = 1 + n(n-1)$ と表せる。

第7項の値は $a_7 = 7^2 - 7 + 1 = 49 - 7 + 1 = 43$ である。

3. 最終的な答え

一般項は $a_n = 1 + n(n-1)$

第7項の値は 43