定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{t}\cos{3t} dt$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{t}\cos{3t} dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

積和の公式を用いて、被積分関数を簡単な形に変形します。

積和の公式は以下です。

$\cos{A}\cos{B} = \frac{1}{2}[\cos{(A+B)} + \cos{(A-B)}]$

これを用いると、

$\cos{t}\cos{3t} = \frac{1}{2}[\cos{(t+3t)} + \cos{(t-3t)}] = \frac{1}{2}[\cos{(4t)} + \cos{(-2t)}] = \frac{1}{2}[\cos{(4t)} + \cos{(2t)}]$

したがって、求める積分は

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos{t}\cos{3t} dt = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}[\cos{(4t)} + \cos{(2t)}] dt = \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} [\cos{(4t)} + \cos{(2t)}] dt$

$\int \cos(at) dt = \frac{1}{a} \sin(at) + C$ を用いて、

$\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} [\cos{(4t)} + \cos{(2t)}] dt = \frac{1}{2}[\frac{1}{4}\sin{(4t)} + \frac{1}{2}\sin{(2t)}]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{2}[(\frac{1}{4}\sin{(2\pi)} + \frac{1}{2}\sin{(\pi)}) - (\frac{1}{4}\sin{(\frac{2\pi}{3})} + \frac{1}{2}\sin{(\frac{\pi}{3})})]$

$= \frac{1}{2}[(0 + 0) - (\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})] = \frac{1}{2}[-(\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{4})] = \frac{1}{2}[-\frac{3\sqrt{3}}{8}] = -\frac{3\sqrt{3}}{16}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3\sqrt{3}}{16}$