(1) 関数 $f(x) = x^2 + 2x - 4$ において、$f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ を求める。 (2) 関数 $y = ax + b$ の定義域が $-2 \le x \le 4$ のとき、値域が $-10 \le y \le 8$ である。ただし、$a < 0$ とする。このとき、$a$, $b$ を求める。 (3) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ を平方完成する。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^2 + 2x - 4$ において、$f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ を求める。

(2) 関数 $y = ax + b$ の定義域が $-2 \le x \le 4$ のとき、値域が $-10 \le y \le 8$ である。ただし、$a < 0$ とする。このとき、$a$, $b$ を求める。

(3) 2次関数 $y = 2x^2 - 4x - 1$ を平方完成する。

2. 解き方の手順

(1)

$f(0)$ を求める：$f(x) = x^2 + 2x - 4$ に $x = 0$ を代入する。

$f(1)$ を求める：$f(x) = x^2 + 2x - 4$ に $x = 1$ を代入する。

$f(2)$ を求める：$f(x) = x^2 + 2x - 4$ に $x = 2$ を代入する。

(2)

$a < 0$ なので、$x$ が最大のとき $y$ は最小、$x$ が最小のとき $y$ は最大となる。

$x = -2$ のとき $y = 8$

$x = 4$ のとき $y = -10$

連立方程式を立てて解く。

$8 = -2a + b$

$-10 = 4a + b$

(3)

$y = 2x^2 - 4x - 1$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2x) - 1$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

3. 最終的な答え

(1)

$f(0) = 0^2 + 2(0) - 4 = -4$

$f(1) = 1^2 + 2(1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1$

$f(2) = 2^2 + 2(2) - 4 = 4 + 4 - 4 = 4$

(2)

$8 = -2a + b$

$-10 = 4a + b$

上の式から下の式を引くと

$18 = -6a$

$a = -3$

$8 = -2(-3) + b$

$8 = 6 + b$

$b = 2$

(3)

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

よって、

(1) $f(0) = -4$, $f(1) = -1$, $f(2) = 4$

(2) $a = -3$, $b = 2$

(3) $y = 2(x - 1)^2 - 3$