ニュートン・ラプソン法を用いて、方程式 $x^3 + x^2 - 1 = 0$ の近似解 $x_1$ と $x_2$ を初期値 $x_0 = 1$ として求めよ。

1. 問題の内容

ニュートン・ラプソン法を用いて、方程式 $x^3 + x^2 - 1 = 0$ の近似解 $x_1$ と $x_2$ を初期値 $x_0 = 1$ として求めよ。

2. 解き方の手順

ニュートン・ラプソン法は、以下の漸化式で与えられます。

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

ここで、$f(x) = x^3 + x^2 - 1$ です。まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 2x$

したがって、ニュートン・ラプソン法の漸化式は次のようになります。

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + x_n^2 - 1}{3x_n^2 + 2x_n}$

初期値 $x_0 = 1$ から始めて、$x_1$ と $x_2$ を計算します。

$x_1 = x_0 - \frac{x_0^3 + x_0^2 - 1}{3x_0^2 + 2x_0} = 1 - \frac{1^3 + 1^2 - 1}{3(1)^2 + 2(1)} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$

次に、$x_2$ を計算します。

$x_2 = x_1 - \frac{x_1^3 + x_1^2 - 1}{3x_1^2 + 2x_1} = 0.8 - \frac{(0.8)^3 + (0.8)^2 - 1}{3(0.8)^2 + 2(0.8)} = 0.8 - \frac{0.512 + 0.64 - 1}{1.92 + 1.6} = 0.8 - \frac{0.152}{3.52} \approx 0.8 - 0.04318 \approx 0.75682$

3. 最終的な答え

$x_1 = 0.8$

$x_2 \approx 0.75682$