## 問題

## 問題

画像の数学の問題は、以下の5つの極限を求めるものです。

(a) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$

(b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

(c) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x - \sin 2x}{x - \sin x}$

(d) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

(e) $\lim_{x \to 0} \frac{(2x+1)\log(2x+1) - 2x}{x^2(2x+1)}$

## 解き方の手順

各問題を解く手順は以下の通りです。ロピタルの定理を頻繁に使用します。

**(a)** $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$

1. $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

2. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} (x) = 1$

3. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

**(b)** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

1. $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

2. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (\sin x - x) = \cos x - 1$

$\frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2$

3. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$

4. 再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

5. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (\cos x - 1) = -\sin x$

$\frac{d}{dx} (3x^2) = 6x$

6. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x}$

7. 再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

あるいは、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$を利用して、$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{6x} = - \frac{1}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$と変形することもできます。

8. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (-\sin x) = -\cos x$

$\frac{d}{dx} (6x) = 6$

9. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{6} = \frac{-1}{6} = -\frac{1}{6}$

**(c)** $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x - \sin 2x}{x - \sin x}$

1. $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

2. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (2\sin x - \sin 2x) = 2\cos x - 2\cos 2x$

$\frac{d}{dx} (x - \sin x) = 1 - \cos x$

3. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2\cos 2x}{1 - \cos x}$

4. 再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

5. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (2\cos x - 2\cos 2x) = -2\sin x + 4\sin 2x$

$\frac{d}{dx} (1 - \cos x) = \sin x$

6. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin x + 4\sin 2x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x(-2 + 8\cos x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} (-2 + 8\cos x) = -2 + 8 = 6$

**(d)** $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

1. $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

2. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (e^x - 1 - x) = e^x - 1$

$\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$

3. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$

4. 再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

5. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (e^x - 1) = e^x$

$\frac{d}{dx} (2x) = 2$

6. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$

**(e)** $\lim_{x \to 0} \frac{(2x+1)\log(2x+1) - 2x}{x^2(2x+1)}$

1. $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

2. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} ((2x+1)\log(2x+1) - 2x) = 2\log(2x+1) + (2x+1) \cdot \frac{2}{2x+1} - 2 = 2\log(2x+1)$

$\frac{d}{dx} (x^2(2x+1)) = \frac{d}{dx} (2x^3 + x^2) = 6x^2 + 2x$

3. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\log(2x+1)}{6x^2 + 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\log(2x+1)}{2x(3x + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(2x+1)}{x(3x + 1)}$

4. 再度 $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使用します。

5. 分子と分母をそれぞれ微分します。

$\frac{d}{dx} (\log(2x+1)) = \frac{2}{2x+1}$

$\frac{d}{dx} (x(3x+1)) = 6x + 1$

6. 極限を再評価します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2x+1}}{6x + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{(2x+1)(6x+1)} = \frac{2}{(1)(1)} = 2$

## 最終的な答え

(a) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$

(b) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$

(c) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x - \sin 2x}{x - \sin x} = 6$

(d) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$

(e) $\lim_{x \to 0} \frac{(2x+1)\log(2x+1) - 2x}{x^2(2x+1)} = 2$