(1) 関数 $f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3}$ を微分してください。 (5) 関数 $g(x) = \frac{4x-1}{x^2+x+1}$ を微分してください。

はい、承知いたしました。それでは、画像にある数学の問題を解いていきます。ここでは、(1)と(5)の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3}$ を微分してください。

(5) 関数 $g(x) = \frac{4x-1}{x^2+x+1}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の各項を個別に微分します。

$\frac{d}{dx}(\frac{3}{4}x^4) = \frac{3}{4} \cdot 4x^3 = 3x^3$

$\frac{d}{dx}(-2x^3) = -2 \cdot 3x^2 = -6x^2$

$\frac{d}{dx}(-2x) = -2$

$\frac{d}{dx}(-\frac{2}{x^3}) = \frac{d}{dx}(-2x^{-3}) = -2 \cdot (-3)x^{-4} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$

したがって、$f(x)$ の導関数は次のようになります。

$f'(x) = 3x^3 - 6x^2 - 2 + \frac{6}{x^4}$

(5)

$g(x) = \frac{4x-1}{x^2+x+1}$ を微分するために商の法則を使用します。商の法則は、次のように定義されます。

$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = 4x-1$ であり、$v = x^2 + x + 1$ です。

まず、$u$ と $v$ の導関数を見つけます。

$u' = \frac{d}{dx}(4x-1) = 4$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2+x+1) = 2x+1$

商の法則を適用します。

$g'(x) = \frac{4(x^2+x+1) - (4x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$

分子を展開して簡略化します。

$g'(x) = \frac{4x^2+4x+4 - (8x^2 + 4x - 2x - 1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{4x^2+4x+4 - 8x^2 - 2x + 1}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-4x^2 + 2x + 5}{(x^2+x+1)^2}$

したがって、$g(x)$ の導関数は次のようになります。

$g'(x) = \frac{-4x^2 + 2x + 5}{(x^2+x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) の答え: $f'(x) = 3x^3 - 6x^2 - 2 + \frac{6}{x^4}$

(5) の答え: $g'(x) = \frac{-4x^2 + 2x + 5}{(x^2+x+1)^2}$