与えられた微分方程式 $y' = (1-y)^2$ を変数分離形として解き、一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = (1-y)^2$ を変数分離形として解き、一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} = (1-y)^2$

次に、変数を分離します。つまり、$y$ を含む項を左辺に、$x$ を含む項を右辺に移動します。

$\frac{dy}{(1-y)^2} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{1}{(1-y)^2} dy = \int dx$

左辺の積分を計算します。$u = 1-y$ と置換すると、$du = -dy$ となります。

$\int \frac{1}{u^2} (-du) = -\int u^{-2} du = -(-u^{-1}) + C_1 = \frac{1}{u} + C_1 = \frac{1}{1-y} + C_1$

右辺の積分を計算します。

$\int dx = x + C_2$

したがって、

$\frac{1}{1-y} + C_1 = x + C_2$

定数をまとめます。$C = C_2 - C_1$ とすると、

$\frac{1}{1-y} = x + C$

$1-y$ について解きます。

$1-y = \frac{1}{x+C}$

$y$ について解きます。

$y = 1 - \frac{1}{x+C}$

3. 最終的な答え

$y = 1 - \frac{1}{x+C}$