与えられた同次連立一次方程式が非自明解を持つかどうかを判定する問題です。非自明解を持つかどうかは、係数行列の階数（ランク）が未知数の数よりも小さいかどうかで判定できます。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた同次連立一次方程式が非自明解を持つかどうかを判定する問題です。非自明解を持つかどうかは、係数行列の階数（ランク）が未知数の数よりも小さいかどうかで判定できます。

2. 解き方の手順

(1)

方程式:

$2x_1 + 3x_2 = 0$

$4x_2 = 0$

2番目の式から $x_2 = 0$ が得られます。これを1番目の式に代入すると、$2x_1 = 0$ となり、$x_1 = 0$ が得られます。

解は $x_1 = 0$, $x_2 = 0$ のみなので、非自明解は持ちません。

(2)

方程式:

$2x_1 - 3x_2 = 0$

$4x_1 - 6x_2 = 0$

2番目の式は1番目の式の2倍なので、独立な方程式は1つだけです。つまり、$2x_1 - 3x_2 = 0$ です。

$x_1 = \frac{3}{2}x_2$ となり、$x_2$ が任意の値を取れるため、非自明解を持ちます。

(3)

方程式:

$2x_1 - 4x_2 + 4x_3 = 0$

$3x_1 + 6x_2 - 7x_3 = 0$

係数行列は

$\begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 3 & 6 & -7 \end{pmatrix}$

この行列の階数は2です。未知変数の数は3なので、非自明解を持ちます。

(4)

方程式:

$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$

$4x_2 + 5x_3 = 0$

$6x_3 = 0$

3番目の式から $x_3 = 0$ が得られます。これを2番目の式に代入すると、$4x_2 = 0$ となり、$x_2 = 0$ が得られます。1番目の式に代入すると、$x_1 = 0$ が得られます。

解は $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0$ のみなので、非自明解は持ちません。

(5)

方程式:

$x_1 - x_3 = 0$

$-2x_2 + 4x_3 = 0$

$-x_1 + x_2 = 0$

1番目の式から $x_1 = x_3$ が得られます。2番目の式から $x_2 = 2x_3$ が得られます。3番目の式に代入すると、$-x_3 + 2x_3 = 0$ となり、$x_3 = 0$ が得られます。したがって、$x_1 = 0$、$x_2 = 0$ です。

解は $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 0$ のみなので、非自明解は持ちません。

(6)

方程式:

$x_1 + 3x_2 = 0$

$x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$

$-x_1 + x_2 - 4x_3 = 0$

1番目の式から $x_1 = -3x_2$ が得られます。これを2番目の式に代入すると、$-3x_2 + 2x_2 + x_3 = 0$ となり、$-x_2 + x_3 = 0$ つまり、$x_2 = x_3$ が得られます。これを3番目の式に代入すると、$-(-3x_2) + x_2 - 4x_3 = 0$ となり、$3x_2 + x_2 - 4x_2 = 0$ となり、$0 = 0$ となります。つまり、独立な方程式は2つです。

したがって、$x_1 = -3x_3$, $x_2 = x_3$ となり、$x_3$ は任意の値を取れるため、非自明解を持ちます。

(7)

方程式:

$x_2 + x_3 + x_4 = 0$

$x_1 + x_3 + x_4 = 0$

$x_1 + x_2 + x_4 = 0$

$x_1 + x_2 + x_3 = 0$

1番目の式と2番目の式の差を取ると $x_2 - x_1 = 0$ より、$x_1 = x_2$ が得られます。

2番目の式と3番目の式の差を取ると $x_3 - x_2 = 0$ より、$x_2 = x_3$ が得られます。

3番目の式と4番目の式の差を取ると $x_4 - x_3 = 0$ より、$x_3 = x_4$ が得られます。

したがって、$x_1 = x_2 = x_3 = x_4$ です。これを1番目の式に代入すると、$3x_1 = 0$ となり、$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 0$ が得られます。

解は $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 0$ のみなので、非自明解は持ちません。

3. 最終的な答え

(1) 非自明解を持たない

(2) 非自明解を持つ

(3) 非自明解を持つ

(4) 非自明解を持たない

(5) 非自明解を持たない

(6) 非自明解を持つ

(7) 非自明解を持たない