与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の曲率 $\kappa(x)$ と、 $x=1$ における曲率半径 $\rho(1)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の曲率 $\kappa(x)$ と、 $x=1$ における曲率半径 $\rho(1)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲率 $\kappa(x)$ は、以下の式で計算されます。

$$\kappa(x) = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$$

曲率半径 $\rho(x)$ は、曲率の逆数で与えられます。

$$\rho(x) = \frac{1}{|\kappa(x)|} = \frac{(1 + (y')^2)^{3/2}}{|y''|}$$

まず、与えられた関数を微分します。

$$y' = 3x^2 - 12x + 9$$

$$y'' = 6x - 12$$

次に、$x=1$ における $y'$ と $y''$ の値を計算します。

$$y'(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 3 - 12 + 9 = 0$$

$$y''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6$$

曲率 $\kappa(x)$ を計算します。

$$\kappa(x) = \frac{|6x-12|}{(1 + (3x^2 - 12x + 9)^2)^{3/2}}$$

そして、曲率$\kappa(1)$ を計算します。

$$\kappa(1) = \frac{|y''(1)|}{(1 + (y'(1))^2)^{3/2}} = \frac{|-6|}{(1 + 0^2)^{3/2}} = \frac{6}{1^{3/2}} = 6$$

最後に、曲率半径 $\rho(1)$ を計算します。

$$\rho(1) = \frac{1}{|\kappa(1)|} = \frac{1}{6}$$

3. 最終的な答え

曲率 $\kappa(x) = \frac{|6x-12|}{(1 + (3x^2 - 12x + 9)^2)^{3/2}}$

$x=1$ における曲率半径 $\rho(1) = \frac{1}{6}$