関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ とします。

逆関数を求めるためには、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2}y + \sqrt{y+1}$

この式を $y$ について解きます。まず、$\sqrt{y+1}$ を分離します。

$x - \frac{1}{2}y = \sqrt{y+1}$

両辺を2乗します。

$(x - \frac{1}{2}y)^2 = y+1$

$x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2 = y+1$

$\frac{1}{4}y^2 - (x+1)y + x^2 - 1 = 0$

$y^2 - 4(x+1)y + 4(x^2 - 1) = 0$

この式は $y$ についての二次方程式なので、解の公式を使います。

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$y = \frac{4(x+1) \pm \sqrt{16(x+1)^2 - 16(x^2-1)}}{2}$

$y = 2(x+1) \pm \sqrt{4(x^2+2x+1) - 4(x^2-1)}$

$y = 2(x+1) \pm \sqrt{4x^2+8x+4 - 4x^2+4}$

$y = 2(x+1) \pm \sqrt{8x+8}$

$y = 2(x+1) \pm 2\sqrt{2x+2}$

$y = 2x+2 \pm 2\sqrt{2x+2}$

ここで、$\sqrt{x+1}$ という項が存在することから、$x+1 \geq 0$ なので、$x \geq -1$ です。さらに、$y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の値域を考える必要があります。$x=-1$ の時、$y = -\frac{1}{2}$。$x$ が大きくなるにつれて、$y$ も大きくなるので、$y \geq -\frac{1}{2}$ となります。

$y = 2x+2 \pm 2\sqrt{2x+2}$

$x = -1/2$ のとき、$y= -1 + 2 \pm 2\sqrt{-1+2} = 1 \pm 2$

$y = 3, -1$ となり、$y \geq -1$ となるので $y=-1$は条件を満たす。

$x = 0$ のとき、$y = 2 \pm 2\sqrt{2}$

この逆関数は $x \geq -1/2$ で定義されます。$x > -1$とすると、$\sqrt{x+1} > 0$なので、$y > \frac{-1}{2}$となり，$y$が最小になるのは$x=-1$の時で$y=-1/2$なので、逆関数を求める範囲は$x \geq -1/2$と推定できます。

元の関数を考えると、$x \geq -1$であり、$\sqrt{x+1} \geq 0$であるから、$y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1} \geq \frac{1}{2}(-1) + 0 = -\frac{1}{2}$となる。つまり、元の関数の値域は$y \geq -\frac{1}{2}$となる。

したがって、逆関数の定義域は $x \geq -\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$y = 2x+2 - 2\sqrt{2x+2}$