与えられた定積分 $4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{\theta} \cos^3{\theta} d\theta$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{\theta} \cos^3{\theta} d\theta$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^3{\theta}$ を $\cos^2{\theta} \cos{\theta}$ と分解します。

$\cos^2{\theta} = 1 - \sin^2{\theta}$ を用いて、積分を $\sin{\theta}$ の関数として表します。

$4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{\theta} \cos^3{\theta} d\theta = 4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{\theta} (1 - \sin^2{\theta}) \cos{\theta} d\theta$

$u = \sin{\theta}$ と置換します。すると、$du = \cos{\theta} d\theta$ となります。

$\theta = 0$ のとき $u = \sin{0} = 0$ であり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = \sin{\frac{\pi}{2}} = 1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$4\pi \int_{0}^{1} u^2 (1 - u^2) du = 4\pi \int_{0}^{1} (u^2 - u^4) du$

積分を実行します。

$4\pi \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} \right]_{0}^{1} = 4\pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 4\pi \left( \frac{5 - 3}{15} \right) = 4\pi \left( \frac{2}{15} \right)$

3. 最終的な答え

最終的な答えは $\frac{8\pi}{15}$ です。