関数 $f(x) = \sin x - a \log \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ について、区間 $(0 < x < \pi)$ で極値を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin x - a \log \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}$ について、区間 $(0 < x < \pi)$ で極値を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ となる $x$ が存在し、$f'(x)$ の符号がその $x$ の前後で変化する必要がある。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \cos x - a \frac{1}{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} \cdot \frac{\sin x (1 + \cos x) + \sin x (1 - \cos x)}{(1 + \cos x)^2}$

$f'(x) = \cos x - a \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} \cdot \frac{2 \sin x}{(1 + \cos x)^2}$

$f'(x) = \cos x - a \frac{2 \sin x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

$f'(x) = \cos x - a \frac{2 \sin x}{1 - \cos^2 x}$

$f'(x) = \cos x - a \frac{2 \sin x}{\sin^2 x}$

$f'(x) = \cos x - a \frac{2}{\sin x}$

$f'(x) = \cos x - \frac{2a}{\sin x}$

$f'(x) = \frac{\sin x \cos x - 2a}{\sin x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めるためには、$\sin x \cos x - 2a = 0$ を解けばよい。

すなわち、$\sin x \cos x = 2a$。

$\frac{1}{2} \sin 2x = 2a$

$\sin 2x = 4a$

区間 $(0 < x < \pi)$ で $\sin 2x = 4a$ を満たす $x$ が存在するためには、$0 < 2x < 2\pi$ であるから、$-1 \le \sin 2x \le 1$ が必要である。

したがって、$-1 \le 4a \le 1$ より $-\frac{1}{4} \le a \le \frac{1}{4}$。

ただし、区間 $(0, \pi)$ であることから、$0 < x < \pi$ で $\sin x \ne 0$ であり、$f'(x)$ が定義される必要がある。

さらに、$f'(x)$ の符号が $x$ の前後で変化する必要がある。

$\sin 2x = 4a$ が $(0, \pi)$ で解を持つ条件は、$-1 \le 4a \le 1$ である。

また、$x \in (0, \pi)$ なので、$2x \in (0, 2\pi)$ である。したがって、$\sin 2x$ は $-1$ から $1$ までの値を取りうる。

$4a = 0$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}$ となり、$\sin x \cos x = 0$。

$\sin x > 0$ より、$f'(x)$ の符号は $\sin x \cos x - 2a$ の符号で決まる。

$\sin 2x = 4a$ を満たす $x$ が少なくとも一つ存在し、その前後で $\sin 2x$ が $4a$ と異なる値をとればよい。

$0 < x < \pi$ において $0 < \sin x \le 1$ なので、$a = 0$ のとき、$f'(x) = \cos x$ となり、$x = \frac{\pi}{2}$ で極を持つ。

$-1/4 < a < 1/4$ のとき、$\sin 2x = 4a$ となる $x$ が少なくとも一つ存在する。

$a=0$の場合は、$f(x) = \sin x$なので、極値を持ちます。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4} < a < \frac{1}{4}$