与えられた関数を微分する問題です。具体的には、$x \sin^{-1}x$ と $\cos^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ を微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、$x \sin^{-1}x$ と $\cos^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ を微分します。

2. 解き方の手順

(1) $x \sin^{-1}x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x$, $v = \sin^{-1}x$ とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ となります。

したがって、

$(x \sin^{-1}x)' = (x)'\sin^{-1}x + x (\sin^{-1}x)' = 1 \cdot \sin^{-1}x + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $\cos^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})$ の微分

合成関数の微分公式を使います。

$y = \cos^{-1}(u)$ とすると、$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$ です。

ここで、$u = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ なので、$u' = \frac{(x)'\sqrt{1+x^2} - x(\sqrt{1+x^2})'}{(\sqrt{1+x^2})^2}$ となります。

$(\sqrt{1+x^2})' = \frac{1}{2}(1+x^2)^{-1/2} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

したがって、

$u' = \frac{\sqrt{1+x^2} - x(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$

$y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})^2}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{1+x^2}}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = -\sqrt{1+x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} = -\frac{1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x \sin^{-1}x)' = \sin^{-1}x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $(\cos^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}))' = -\frac{1}{1+x^2}$