(1) 男子2人、女子3人の計5人を横一列に並べるとき、男子2人が隣り合う並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 男子3人、女子3人の計6人を横一列に並べるとき、男子と女子が交互に並ぶ並べ方は全部で何通りあるか。 (3) AAABBC の6つの文字を一列に並べる並べ方は全部で何通りあるか。 (4) 右の図のような道路で、A地点からB地点まで最短距離で行く方法のうち、交差点Pを通る方法は全部で何通りあるか。 (5) 1枚の硬貨を4回投げるとき、表、裏がそれぞれ2回ずつ出る確率はいくらか。 (6) 赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を確かめてから袋に戻すという試行を3回繰り返す。このとき、赤玉が1回だけ出る確率はいくらか。

1. 問題の内容

(1) 男子2人、女子3人の計5人を横一列に並べるとき、男子2人が隣り合う並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 男子3人、女子3人の計6人を横一列に並べるとき、男子と女子が交互に並ぶ並べ方は全部で何通りあるか。

(3) AAABBC の6つの文字を一列に並べる並べ方は全部で何通りあるか。

(4) 右の図のような道路で、A地点からB地点まで最短距離で行く方法のうち、交差点Pを通る方法は全部で何通りあるか。

(5) 1枚の硬貨を4回投げるとき、表、裏がそれぞれ2回ずつ出る確率はいくらか。

(6) 赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出して、その色を確かめてから袋に戻すという試行を3回繰り返す。このとき、赤玉が1回だけ出る確率はいくらか。

2. 解き方の手順

(1) 男子2人をひとまとめにして1つのグループと考える。すると、並べるものは1つの男子グループと女子3人の合計4つとなる。これらを並べる方法は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。さらに、男子2人の並び順は2通りあるので、求める並べ方は $24 \times 2 = 48$ 通り。

(2) 男子と女子が交互に並ぶためには、男女男女男女または女男女男女男の並び方しかない。

男女男女男女の並び方は、$3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$ 通り。

女男女男女男の並び方も、$3! \times 3! = 6 \times 6 = 36$ 通り。

よって、合計 $36 + 36 = 72$ 通り。

(3) AAABBCの6つの文字を並べる場合の総数は、同じものを含む順列の公式より

$\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(1)} = \frac{720}{12} = 60$ 通り。

(4) A地点からP地点までの最短経路は、右に2回、上に1回進む必要がある。したがって、その経路数は $\frac{3!}{2!1!} = \frac{6}{2} = 3$ 通り。

P地点からB地点までの最短経路は、右に2回、上に1回進む必要がある。したがって、その経路数は $\frac{3!}{2!1!} = \frac{6}{2} = 3$ 通り。

よって、A地点からP地点を通り、B地点まで最短距離で行く経路は $3 \times 3 = 9$ 通り。

(5) 1枚の硬貨を4回投げるとき、表が2回、裏が2回出る確率は、反復試行の確率の公式より

${}_4 C_2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{4!}{2!2!} \times \frac{1}{16} = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

(6) 赤玉4個、白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出すとき、赤玉が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$、白玉が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

3回繰り返す試行で、赤玉が1回だけ出る確率は、反復試行の確率の公式より

${}_3 C_1 \times (\frac{2}{3})^1 \times (\frac{1}{3})^2 = 3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 48通り

(2) 72通り

(3) 60通り

(4) 9通り

(5) $\frac{3}{8}$

(6) $\frac{2}{9}$