与えられた分数の和を計算する問題です。 $$ \frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+8)} $$

1. 問題の内容

与えられた分数の和を計算する問題です。

$$\frac{1}{a(a+2)} + \frac{1}{(a+2)(a+4)} + \frac{1}{(a+4)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+8)}$$

2. 解き方の手順

各項を部分分数に分解します。

一般に、$\frac{1}{(x)(x+2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2})$ が成り立ちます。これを利用します。

\begin{align*}

\frac{1}{a(a+2)} &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} \right) \\

\frac{1}{(a+2)(a+4)} &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} \right) \\

\frac{1}{(a+4)(a+6)} &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6} \right) \\

\frac{1}{(a+6)(a+8)} &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+8} \right)

\end{align*}

したがって、与えられた式の和は

\begin{align*}

& \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+8} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+2} - \frac{1}{a+4} + \frac{1}{a+4} - \frac{1}{a+6} + \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+8} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+8} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{a+8 - a}{a(a+8)} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{8}{a(a+8)} \right) \\

&= \frac{4}{a(a+8)}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$$\frac{4}{a(a+8)}$$