与えられた式を簡略化して計算する問題です。式は以下の通りです。 $\frac{(a+2)(a+4)+a(a+2)}{a(a+2)(a+2)(a+4)}+\frac{(a+6)(a+8)+(a+4)(a+6)}{(a+4)(a+6)(a+6)(a+8)}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化して計算する問題です。式は以下の通りです。

$\frac{(a+2)(a+4)+a(a+2)}{a(a+2)(a+2)(a+4)}+\frac{(a+6)(a+8)+(a+4)(a+6)}{(a+4)(a+6)(a+6)(a+8)}$

2. 解き方の手順

まず、左側の分数の分子を簡略化します。

$(a+2)(a+4) + a(a+2) = a^2 + 6a + 8 + a^2 + 2a = 2a^2 + 8a + 8 = 2(a^2 + 4a + 4) = 2(a+2)^2$

次に、左側の分数の分母を簡略化します。

$a(a+2)(a+2)(a+4) = a(a+2)^2(a+4)$

したがって、左側の分数は次のようになります。

$\frac{2(a+2)^2}{a(a+2)^2(a+4)} = \frac{2}{a(a+4)}$

次に、右側の分数の分子を簡略化します。

$(a+6)(a+8) + (a+4)(a+6) = a^2 + 14a + 48 + a^2 + 10a + 24 = 2a^2 + 24a + 72 = 2(a^2 + 12a + 36) = 2(a+6)^2$

次に、右側の分数の分母を簡略化します。

$(a+4)(a+6)(a+6)(a+8) = (a+4)(a+6)^2(a+8)$

したがって、右側の分数は次のようになります。

$\frac{2(a+6)^2}{(a+4)(a+6)^2(a+8)} = \frac{2}{(a+4)(a+8)}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{2}{a(a+4)} + \frac{2}{(a+4)(a+8)}$

次に、2つの分数を足し合わせます。

$\frac{2}{a(a+4)} + \frac{2}{(a+4)(a+8)} = \frac{2(a+8) + 2a}{a(a+4)(a+8)} = \frac{2a + 16 + 2a}{a(a+4)(a+8)} = \frac{4a+16}{a(a+4)(a+8)} = \frac{4(a+4)}{a(a+4)(a+8)} = \frac{4}{a(a+8)}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{a(a+8)}$