## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の微分方程式の問題を解きます。

1. $(x+3)(x-4)y' = 7xy$ の一般解を求めよ。

2. $y' = \frac{4x^7 + 3y^5}{3xy^4}$ の一般解を求めよ。

3. $y' = \frac{3x-y+13}{x+y+3}$ の一般解を求めよ。

4. $x\frac{dy}{dx} - 4y = x^8$ の一般解を求めよ。

5. $7y' + 2xy = 2x^{\frac{5}{2}}$ の一般解を求めよ。

6. $(3xe^{3x^2+2y^2}+6x^5)dx + (2ye^{3x^2+2y^2}+4y^3)dy = 0$ が完全微分形であることを確かめ、一般解を求めよ。

7. $(2xy\log y)dx + (x^2 + 3y^3)dy = 0$ に対して $x^{\alpha}y^{\beta}$ 型の積分因子を見出して一般解を求めよ。

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2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

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1. $(x+3)(x-4)y' = 7xy$**

1. 変数分離: $y' = \frac{dy}{dx}$ を用いて式を変形し、変数分離を行います。

$\frac{dy}{y} = \frac{7x}{(x+3)(x-4)} dx$

2. 部分分数分解: 右辺の分数を部分分数分解します。

$\frac{7x}{(x+3)(x-4)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-4}$

$7x = A(x-4) + B(x+3)$

$x=-3$のとき、 $-21 = -7A \Rightarrow A=3$

$x=4$のとき、 $28 = 7B \Rightarrow B=4$

よって、$\frac{7x}{(x+3)(x-4)} = \frac{3}{x+3} + \frac{4}{x-4}$

3. 積分: 両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int \left(\frac{3}{x+3} + \frac{4}{x-4}\right) dx$

$\log |y| = 3\log |x+3| + 4\log |x-4| + C$

4. 整理: 対数の性質を用いて整理します。

$\log |y| = \log |(x+3)^3(x-4)^4| + C$

$y = K(x+3)^3(x-4)^4$, (Kは定数)

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2. $y' = \frac{4x^7 + 3y^5}{3xy^4}$**

1. 同次形にする:

$y' = \frac{4x^7 + 3y^5}{3xy^4} = \frac{4x^7}{3xy^4} + \frac{3y^5}{3xy^4} = \frac{4}{3} \frac{x^6}{y^4} + \frac{y}{x}$

これは同次形ではない。

$3xy^4 y' = 4x^7 + 3y^5$

$3xy^4 \frac{dy}{dx} - 3y^5 = 4x^7$

$y = vx$とおくと、$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$

$3x (vx)^4 (v + x\frac{dv}{dx}) - 3 (vx)^5 = 4x^7$

$3x^5 v^4 (v + x\frac{dv}{dx}) - 3v^5x^5 = 4x^7$

$3x^5 v^5 + 3x^6 v^4 \frac{dv}{dx} - 3v^5x^5 = 4x^7$

$3x^6 v^4 \frac{dv}{dx} = 4x^7$

$3v^4 dv = 4x dx$

2. 積分する

$v^5 = \frac{20}{3} x + c$

$(\frac{y}{x})^5 = \frac{20}{3} x + c$

$y^5 = x^5 (\frac{20}{3} x + c)$

$y^5 = \frac{20}{3} x^6 + cx^5$

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3. $y' = \frac{3x-y+13}{x+y+3}$**

1. 平行移動:

$x = X+h, y=Y+k$とおくと、

$y' = \frac{3(X+h) - (Y+k) + 13}{X+h + Y+k + 3} = \frac{3X-Y + (3h-k+13)}{X+Y + (h+k+3)}$

$3h - k + 13 = 0$

$h + k + 3 = 0$

よって、 $4h + 16 = 0$ から $h = -4$

$k = -h - 3 = 4-3 = 1$

$x = X - 4$

$y = Y + 1$

$y' = \frac{3X-Y}{X+Y}$

2. $Y = vX$とおくと、

$\frac{dY}{dX} = v + X \frac{dv}{dX}$

$v + X \frac{dv}{dX} = \frac{3X-vX}{X+vX} = \frac{3-v}{1+v}$

$X \frac{dv}{dX} = \frac{3-v}{1+v} - v = \frac{3-v-v-v^2}{1+v} = \frac{3-2v-v^2}{1+v} = -\frac{(v+3)(v-1)}{1+v}$

$\frac{1+v}{(v+3)(v-1)}dv = -\frac{dX}{X}$

$\frac{1+v}{(v+3)(v-1)} = \frac{A}{v+3} + \frac{B}{v-1}$

$1+v = A(v-1) + B(v+3)$

$v=1$のとき $2 = 4B \Rightarrow B=\frac{1}{2}$

$v=-3$のとき $-2 = -4A \Rightarrow A=\frac{1}{2}$

$(\frac{1/2}{v+3} + \frac{1/2}{v-1})dv = -\frac{dX}{X}$

$\frac{1}{2}\log|v+3| + \frac{1}{2}\log|v-1| = -\log|X| + C_1$

$\log|(v+3)(v-1)| = -2 \log|X| + C$

$(v+3)(v-1) = \frac{C}{X^2}$

$(\frac{Y}{X}+3)(\frac{Y}{X}-1) = \frac{C}{X^2}$

$(Y+3X)(Y-X) = C$

$(y-1+3(x+4))(y-1-(x+4)) = C$

$(y+3x+11)(y-x-5)=C$

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4. $x\frac{dy}{dx} - 4y = x^8$**

1. 線形微分方程式の形に変形します。

$\frac{dy}{dx} - \frac{4}{x}y = x^7$

2. 積分因子を求めます。

$P(x) = -\frac{4}{x}$ より、$\int P(x) dx = -4\log|x| = \log|x^{-4}|$

積分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = x^{-4}$

3. 両辺に積分因子をかけます。

$x^{-4}\frac{dy}{dx} - 4x^{-5}y = x^3$

$\frac{d}{dx}(x^{-4}y) = x^3$

4. 両辺を積分します。

$x^{-4}y = \int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 + C$

5. $y$ について解きます。

$y = \frac{1}{4}x^8 + Cx^4$

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5. $7y' + 2xy = 2x^{\frac{5}{2}}$**

1. 線形微分方程式の形に変形します。

$y' + \frac{2}{7}xy = \frac{2}{7}x^{\frac{5}{2}}$

2. 積分因子を求めます。

$P(x) = \frac{2}{7}x$ より、$\int P(x) dx = \frac{1}{7}x^2$

積分因子 $\mu(x) = e^{\frac{1}{7}x^2}$

3. 両辺に積分因子をかけます。

$e^{\frac{1}{7}x^2}y' + \frac{2}{7}xe^{\frac{1}{7}x^2}y = \frac{2}{7}x^{\frac{5}{2}}e^{\frac{1}{7}x^2}$

$\frac{d}{dx}(e^{\frac{1}{7}x^2}y) = \frac{2}{7}x^{\frac{5}{2}}e^{\frac{1}{7}x^2}$

4. 両辺を積分します。

$e^{\frac{1}{7}x^2}y = \int \frac{2}{7}x^{\frac{5}{2}}e^{\frac{1}{7}x^2} dx$

（右辺の積分は解析的に求まらないため、Gamma関数などを用いて表現される可能性がある。問題文に誤りがあるか、もしくは数値解法を前提としている可能性がある。）

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6. $(3xe^{3x^2+2y^2}+6x^5)dx + (2ye^{3x^2+2y^2}+4y^3)dy = 0$**

1. 完全微分形の確認:

$P(x,y) = 3xe^{3x^2+2y^2}+6x^5$

$Q(x,y) = 2ye^{3x^2+2y^2}+4y^3$

$\frac{\partial P}{\partial y} = 3x e^{3x^2+2y^2} (4y) = 12xy e^{3x^2+2y^2}$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2y e^{3x^2+2y^2} (6x) = 12xy e^{3x^2+2y^2}$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ なので、完全微分形です。

2. 一般解の導出:

$\int P dx = \int (3xe^{3x^2+2y^2}+6x^5) dx = \frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + x^6 + g(y)$

$\int Q dy = \int (2ye^{3x^2+2y^2}+4y^3) dy = \frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + y^4 + h(x)$

一般解: $\frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + x^6 + y^4 = C$

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7. $(2xy\log y)dx + (x^2 + 3y^3)dy = 0$**

1. $x^{\alpha}y^{\beta}$ 型の積分因子を仮定:

$\mu(x, y) = x^{\alpha}y^{\beta}$ を与えられた微分方程式にかけます。

$x^{\alpha}y^{\beta}(2xy\log y)dx + x^{\alpha}y^{\beta}(x^2 + 3y^3)dy = 0$

$(2x^{\alpha+1}y^{\beta+1}\log y)dx + (x^{\alpha+2}y^{\beta} + 3x^{\alpha}y^{\beta+3})dy = 0$

2. 完全微分形の条件を適用:

$P(x, y) = 2x^{\alpha+1}y^{\beta+1}\log y$

$Q(x, y) = x^{\alpha+2}y^{\beta} + 3x^{\alpha}y^{\beta+3}$

$\frac{\partial P}{\partial y} = 2x^{\alpha+1}[(\beta+1)y^{\beta}\log y + y^{\beta+1} \frac{1}{y}] = 2x^{\alpha+1}[(\beta+1)y^{\beta}\log y + y^{\beta}]$

$\frac{\partial Q}{\partial x} = (\alpha+2)x^{\alpha+1}y^{\beta} + 3\alpha x^{\alpha-1}y^{\beta+3}$

3. 偏導関数を比較:

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ を満たすように $\alpha$ と $\beta$ を求めます。

$2[(\beta+1)y^{\beta}\log y + y^{\beta}] = (\alpha+2)y^{\beta} + 3\alpha x^{-2}y^{\beta+3}$

$x^{-2}y^3$の項がないので、$\alpha=0$。

$2[(\beta+1)\log y + 1] = 2y^{\beta} = 2\log y+2 = 2y^\beta$

$2\log y + 2 = 2y^\beta \Rightarrow \beta = 0$

$\alpha=0, \beta=-1$

$\frac{2xy \log y}{y} dx + (\frac{x^2}{y} + 3y^2)dy = 0$

$2x\log y dx + (\frac{x^2}{y} + 3y^2)dy=0$

$\mu = 1/y$

$\int 2x \log y dx = x^2 \log y + h(y)$

$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 \log y) = \frac{x^2}{y}$

$\int (\frac{x^2}{y} + 3y^2)dy = x^2\log y + y^3 + c$

$x^2 \log y + y^3 = c$

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3. 最終的な答え

1. $y = K(x+3)^3(x-4)^4$

2. $y^5 = \frac{20}{3} x^6 + Cx^5$

3. $(y+3x+11)(y-x-5)=C$

4. $y = \frac{1}{4}x^8 + Cx^4$

5. $e^{\frac{1}{7}x^2}y = \int \frac{2}{7}x^{\frac{5}{2}}e^{\frac{1}{7}x^2} dx$ (または、この積分を表現する別の形式)

6. $\frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + x^6 + y^4 = C$

7. $x^2 \log y + y^3 = c$