全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ と、その部分集合 $A = \{2, 3, 5, 8\}$、 $B = \{1, 3, 5\}$ が与えられています。 以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $A \cap \overline{B}$

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ と、その部分集合 $A = \{2, 3, 5, 8\}$、 $B = \{1, 3, 5\}$ が与えられています。

以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$: 集合 A と集合 B の共通部分を求めます。A にも B にも含まれる要素を列挙します。

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$: 集合 A の補集合 $\overline{A}$ と、集合 B の補集合 $\overline{B}$ をそれぞれ求め、その和集合を求めます。補集合とは、全体集合 U のうち、それぞれの集合に含まれない要素を集めた集合のことです。

(3) $\overline{A \cup B}$: 集合 A と集合 B の和集合 $A \cup B$ を求め、その補集合を求めます。和集合とは、A または B に含まれる要素を集めた集合のことです。

(4) $A \cap \overline{B}$: 集合 B の補集合 $\overline{B}$ を求め、集合 A と $\overline{B}$ の共通部分を求めます。

計算を実行します。

(1) $A \cap B = \{3, 5\}$

(2) $\overline{A} = \{1, 4, 6, 7, 9\}$、$\overline{B} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 8\}$

$\overline{A \cup B} = \{4, 6, 7, 9\}$

(4) $\overline{B} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

$A \cap \overline{B} = \{2, 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 5\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 7, 9\}$

(4) $A \cap \overline{B} = \{2, 8\}$