与えられた微分方程式 $(2xy \log y)dx + (x^2 + 3y^3)dy = 0$ に対して、$x^\alpha y^\beta$ 型の積分因子を見つけて、一般解を求める。

## 問題7の解答

1. 問題の内容

与えられた微分方程式

$(2xy \log y)dx + (x^2 + 3y^3)dy = 0$

に対して、$x^\alpha y^\beta$ 型の積分因子を見つけて、一般解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を

$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

とすると、

$M(x,y) = 2xy\log y$

$N(x,y) = x^2 + 3y^3$

である。

この微分方程式が完全微分形であるかどうか調べる。

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x\log y + 2x$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$

であるから、完全微分形ではない。

積分因子を $x^\alpha y^\beta$ と仮定する。

$x^\alpha y^\beta M(x,y)dx + x^\alpha y^\beta N(x,y)dy = 0$

すなわち

$(x^{\alpha+1}y^{\beta+1}\log y)dx + (x^{\alpha+2}y^\beta + 3x^\alpha y^{\beta+3})dy = 0$

が完全微分形となるように $\alpha$ と $\beta$ を定める。

$\frac{\partial (x^{\alpha+1}y^{\beta+1}\log y)}{\partial y} = (\beta+1)x^{\alpha+1}y^\beta \log y + x^{\alpha+1}y^\beta$

$\frac{\partial (x^{\alpha+2}y^\beta + 3x^\alpha y^{\beta+3})}{\partial x} = (\alpha+2)x^{\alpha+1}y^\beta$

$\frac{\partial (x^{\alpha+1}y^{\beta+1}\log y)}{\partial y} = \frac{\partial (x^{\alpha+2}y^\beta + 3x^\alpha y^{\beta+3})}{\partial x}$

$(\beta+1)x^{\alpha+1}y^\beta \log y + x^{\alpha+1}y^\beta = (\alpha+2)x^{\alpha+1}y^\beta$

$(\beta+1)\log y + 1 = \alpha+2$

$(\beta+1)\log y = \alpha+1$

この式が任意の $y$ に対して成り立つためには、$\beta+1=0$ かつ $\alpha+1=0$ でなければならない。

したがって $\beta=-1$, $\alpha=-1$ である。

よって、積分因子は $x^{-1}y^{-1} = \frac{1}{xy}$ である。

積分因子をかけると

$(2\log y)dx + (\frac{x}{y} + \frac{3y^2}{x})dy = 0$

積分因子をかけた後の微分方程式が完全微分形になっているかを確認する。

$\frac{\partial (2\log y)}{\partial y} = \frac{2}{y}$

$\frac{\partial (\frac{x}{y} + \frac{3y^2}{x})}{\partial x} = \frac{1}{y} - \frac{3y^2}{x^2}$

積分因子が間違っていたようです。

もう一度計算し直します。

$(\beta+1)x^{\alpha+1}y^\beta \log y + x^{\alpha+1}y^\beta = (\alpha+2)x^{\alpha+1}y^\beta$

$(\beta+1)x^{\alpha+1}y^\beta (\log y + \frac{1}{\beta + 1}) = (\alpha+2)x^{\alpha+1}y^\beta$

$M(x,y) = 2xy\log y$

$N(x,y) = x^2 + 3y^3$

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x\log y + 2x$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x$

$\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{2x\log y + 2x - 2x}{x^2+3y^3} = \frac{2x\log y}{x^2+3y^3}$

$\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{2x - 2x\log y - 2x}{2xy \log y} = \frac{-2x\log y}{2xy \log y} = -\frac{1}{y}$

$\mu(y) = e^{\int -\frac{1}{y}dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$

積分因子 $\mu(y) = \frac{1}{y}$ をかけると

$2x\log y dx + (\frac{x^2}{y} + 3y^2) dy = 0$

$\frac{\partial (2x\log y)}{\partial y} = \frac{2x}{y}$

$\frac{\partial (\frac{x^2}{y} + 3y^2)}{\partial x} = \frac{2x}{y}$

よって、完全微分形である。

$F(x,y) = \int 2x\log y dx = x^2 \log y + g(y)$

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + g'(y) = \frac{x^2}{y} + 3y^2$

$g'(y) = 3y^2$

$g(y) = y^3 + C$

$F(x,y) = x^2 \log y + y^3 = C$

3. 最終的な答え

$x^2 \log y + y^3 = C$