与えられた微分方程式 $y' = y(1-y)$ について、以下の問いに答えます。 (a) 一般解を求めます。 (b) 初期条件 $y(0) = \frac{1}{2}$ と $y(0) = \frac{3}{2}$ のそれぞれに対する特殊解を求め、グラフの概形を図示します。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = y(1-y)$ について、以下の問いに答えます。

(a) 一般解を求めます。

(b) 初期条件 $y(0) = \frac{1}{2}$ と $y(0) = \frac{3}{2}$ のそれぞれに対する特殊解を求め、グラフの概形を図示します。

2. 解き方の手順

(a) 一般解を求める

微分方程式 $y' = y(1-y)$ は変数分離形なので、以下のように解きます。

$\frac{dy}{dx} = y(1-y)$

$\frac{dy}{y(1-y)} = dx$

ここで、左辺を部分分数分解します。

$\frac{1}{y(1-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{1-y}$

$1 = A(1-y) + By$

$y = 0$ のとき、$A = 1$

$y = 1$ のとき、$B = 1$

したがって、

$\frac{1}{y(1-y)} = \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y}$

これを積分すると、

$\int \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{1-y} \right) dy = \int dx$

$\ln |y| - \ln |1-y| = x + C$

$\ln \left| \frac{y}{1-y} \right| = x + C$

$\frac{y}{1-y} = e^{x+C} = e^C e^x = Ae^x$ (ただし、$A = e^C$ は任意定数)

$y = (1-y)Ae^x$

$y = Ae^x - yAe^x$

$y(1 + Ae^x) = Ae^x$

$y = \frac{Ae^x}{1 + Ae^x}$

$y = \frac{Ae^x}{1 + Ae^x} = \frac{A}{e^{-x} + A}$

(b) 特殊解を求める

(i) 初期条件 $y(0) = \frac{1}{2}$ を用いると、

$\frac{1}{2} = \frac{A}{1 + A}$

$1 + A = 2A$

$A = 1$

したがって、特殊解は $y = \frac{e^x}{1 + e^x} = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

(ii) 初期条件 $y(0) = \frac{3}{2}$ を用いると、

$\frac{3}{2} = \frac{A}{1 + A}$

$3(1 + A) = 2A$

$3 + 3A = 2A$

$A = -3$

したがって、特殊解は $y = \frac{-3e^x}{1 - 3e^x} = \frac{3e^x}{3e^x - 1}$

グラフの概形:

(i) $y = \frac{1}{1 + e^{-x}}$ はロジスティック曲線で、$x \to -\infty$ で $y \to 0$, $x \to \infty$ で $y \to 1$, $y(0) = \frac{1}{2}$。

(ii) $y = \frac{3e^x}{3e^x - 1}$ は、$y(0) = \frac{3}{2}$ であり、$x \to -\infty$ で $y \to 0$, $x \to \infty$ で $y \to 1$, $3e^x - 1 = 0$, $e^x = \frac{1}{3}$, $x = \ln \frac{1}{3} = -\ln 3$ で $y$ は発散する。

3. 最終的な答え

(a) 一般解: $y = \frac{Ae^x}{1 + Ae^x}$

(b)

(i) 特殊解: $y = \frac{e^x}{1 + e^x} = \frac{1}{1 + e^{-x}}$

(ii) 特殊解: $y = \frac{3e^x}{3e^x - 1}$

(グラフの概形は上記参照)