与えられた四次方程式 $x^4 - x^3 - 6x^2 + 5x - 1 = 0$ を満たす実数 $x$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた四次方程式 $x^4 - x^3 - 6x^2 + 5x - 1 = 0$ を満たす実数 $x$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は、相反方程式の形をしている。つまり、係数が中心に関して対称である。

相反方程式を解く典型的な方法は、両辺を $x^2$ で割ることである。ただし、$x=0$ が解でないことを確認する必要がある。

$x=0$ を与えられた方程式に代入すると、$-1 = 0$ となり矛盾するので、$x=0$ は解ではない。

したがって、与えられた方程式の両辺を $x^2$ で割ることができる。

$x^2 - x - 6 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2} = 0$

項を並べ替えると

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) - (x - \frac{5}{x}) - 6 = 0$

ここで、$y = x - \frac{1}{x}$ と置く。すると、

$y^2 = (x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}) = y(x+\frac{1}{x})$

別の方法として、

$x - \frac{5}{x}$ の形にするのは難しいので、次のように項を並べ替える

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) - (x - \frac{1}{x}) - 6 + \frac{4}{x} = 0$

とはできない。

しかし、次のようにする。

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) - (x - \frac{1}{x}) - 6 = 0$

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

$t=x+\frac{1}{x}$とおくと、$x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2 = t^2 - 2$.

この式は使用できないので元のやり方でやる。

$x^2 - x - 6 + \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2} = 0$

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) - (x - \frac{5}{x}) - 6 = 0$

$(x^2 - \frac{1}{x^2}) - (x - \frac{1}{x}) - 6 - \frac{4}{x} = 0$

この式変形では解けない。元の式に戻る。

$x^4 - x^3 - 6x^2 + 5x - 1 = 0$

$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = 0$

$x^4 + (a+c)x^3 + (ac+b+d)x^2 + (ad+bc)x + bd = 0$

$a+c = -1$

$ac+b+d = -6$

$ad+bc = 5$

$bd = -1$

ここで、$b = 1$, $d = -1$とすると、

$a+c = -1$

$ac = -6 - b - d = -6 - 1 + 1 = -6$

$-a+c = 5$

$2c = 4$

$c = 2$, $a = -3$

$(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 2x - 1) = 0$

$x^2 - 3x + 1 = 0$, $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x^2 + 2x - 1 = 0$, $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, -1 + \sqrt{2}, -1 - \sqrt{2}$