アキレスと亀のパラドックスに関する問題で、以下の3つの問いに答える必要があります。 1. アキレスが亀の最初の位置Aに到達したときのAB間の距離を求める。 2. その次にアキレスが亀の位置Bに到達したときのBC間の距離を求める。 3. アキレスが亀を追い越したとき、アキレスはいくつまで数を数えたかを求める。 アキレスの速さは$10 m/s$、亀の速さは$1 m/s$とし、スタート時点でアキレスと亀は$100 m$離れているとする。

1. 問題の内容

アキレスと亀のパラドックスに関する問題で、以下の3つの問いに答える必要があります。

1. アキレスが亀の最初の位置Aに到達したときのAB間の距離を求める。

2. その次にアキレスが亀の位置Bに到達したときのBC間の距離を求める。

3. アキレスが亀を追い越したとき、アキレスはいくつまで数を数えたかを求める。

アキレスの速さは$10 m/s$、亀の速さは$1 m/s$とし、スタート時点でアキレスと亀は$100 m$離れているとする。

2. 解き方の手順

1. AB間の距離の計算

アキレスが亀の最初の位置Aに到達するまでの時間を$t_1$とすると、$t_1$はアキレスが$100m$進む時間なので、

$t_1 = \frac{100}{10} = 10$秒

この$10$秒の間に、亀は$1 m/s$で移動するので、進んだ距離は、

$1 \times 10 = 10$m

したがって、AB間の距離は$10m$です。

2. BC間の距離の計算

アキレスがBに到達するまでにかかる時間を$t_2$とすると、$t_2$はアキレスがAB間の距離$10 m$を進む時間なので、

$t_2 = \frac{10}{10} = 1$秒

この$1$秒の間に、亀は$1 m/s$で移動するので、進んだ距離は、

$1 \times 1 = 1$m

したがって、BC間の距離は$1m$です。

3. アキレスが亀を追い越すまでに数えた数

アキレスが数えた数を$n$とすると、各区間の距離は等比数列をなします。最初の距離は$100$mで、公比は$\frac{1}{10}$です。

アキレスが亀を追い越すまでに移動する総距離$S$は、以下の式で表されます。

$S = 100 + 10 + 1 + \frac{1}{10} + ... = \frac{100}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{100}{\frac{9}{10}} = \frac{1000}{9}$m

一方、アキレスが亀を追い越すまでにかかる時間を$t$とすると、アキレスの移動距離は$10t$、亀の移動距離は$1t$です。初期距離が$100$mなので、$10t = t + 100$が成り立ちます。

$9t = 100$

$t = \frac{100}{9}$秒

アキレスが数えた数は、$100, 10, 1, \frac{1}{10}, ...$に対応します。これは各区間の距離をアキレスが走るのにかかる時間に対応します。それぞれの時間は、$10, 1, \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, ...$秒です。アキレスはそれぞれの位置に到達するたびに数を数えるので、追い越すまでには無限回数を数えます。しかし、現実的にはある程度以上の細かい時間区間は区別できないので、有限の値に落ち着くと考えられます。

最初の位置Aまでは1、次のBまでは2、と順番に数えているので、数えた数の合計は$1 + 2 + 3 + ... + n$と考えるのが自然です。しかし、この問題は厳密に数える数を定義していないため、正確な値を求めるのは困難です。無限に数える、というのが数学的な答えですが、現実的な答えとしては、ある程度の数まで数えたところで差が無視できるほど小さくなるため、その時点で数えるのをやめる、という解釈になります。

3. 最終的な答え

1) AB間の距離: $10 m$

2) BC間の距離: $1 m$

3) アキレスが亀を追い越したとき、アキレスは無限に数え続ける（数学的な答え）。しかし、現実的にはある程度の数まで数えたところで、差が無視できるようになる。