関数 $f(x) = \frac{x+a}{x^2 - 4}$ が極値を持つように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。

## 数学の問題

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x+a}{x^2 - 4}$ が極値を持つように、定数 $a$ の値の範囲を定める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

商の微分公式を用いると

$f'(x) = \frac{(1)(x^2 - 4) - (x+a)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2 - 4 - 2x^2 - 2ax}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 - 2ax - 4}{(x^2 - 4)^2}$

(2) 関数 $f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ となる $x$ が存在し、その前後で $f'(x)$ の符号が変わる必要があります。$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$f'(x) = 0$ となるのは、分子が0になるときなので、$g(x) = -x^2 - 2ax - 4$ とおくと $g(x)=0$ を満たす実数解を持つことが必要です。

$g(x) = -x^2 - 2ax - 4 = 0$

この二次方程式が実数解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D>0$であることです。（重解を持つ場合も、符号が変わらない場合は極値を持たないので除外します。）

$D/4 = (-a)^2 - (-1)(-4) = a^2 - 4 > 0$

$a^2 > 4$

(3) $x^2 - 4 \neq 0$ である必要があるので、$x \neq \pm 2$ です。$x = \pm 2$ が $-x^2 - 2ax - 4 = 0$ の解にならないことを確認します。

$x = 2$ のとき: $-2^2 - 2a(2) - 4 = -4 - 4a - 4 = -8 - 4a = 0$ より $a = -2$。

$x = -2$ のとき: $-(-2)^2 - 2a(-2) - 4 = -4 + 4a - 4 = -8 + 4a = 0$ より $a = 2$。

$a = \pm 2$ のとき、$x = \pm 2$ が $g(x)=0$ の解になるため、$f'(x)$が定義できない点$x=\pm 2$で、$f'(x)=0$となるのは不適です。したがって、$a = \pm 2$ は除外されます。

(4) $a^2>4$ を解くと、$a < -2$ または $a > 2$となります。

3. 最終的な答え

$a < -2$ または $a > 2$