与えられた式 $ (\sin 70^\circ + \sin 20^\circ)^2 - 2\tan 70^\circ \cos^2 70^\circ $ を計算し、簡略化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sin 70^\circ + \sin 20^\circ)^2 - 2\tan 70^\circ \cos^2 70^\circ$ を計算し、簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(\sin 70^\circ + \sin 20^\circ)^2$を展開します。

$(\sin 70^\circ + \sin 20^\circ)^2 = \sin^2 70^\circ + 2 \sin 70^\circ \sin 20^\circ + \sin^2 20^\circ$

次に、$2 \sin 70^\circ \sin 20^\circ$を積和の公式を用いて変形します。

$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$

$2 \sin 70^\circ \sin 20^\circ = \cos(70^\circ - 20^\circ) - \cos(70^\circ + 20^\circ) = \cos 50^\circ - \cos 90^\circ = \cos 50^\circ - 0 = \cos 50^\circ$

したがって、

$(\sin 70^\circ + \sin 20^\circ)^2 = \sin^2 70^\circ + \cos 50^\circ + \sin^2 20^\circ$

ここで、$\sin 20^\circ = \cos (90^\circ - 20^\circ) = \cos 70^\circ$であるから、

$\sin^2 20^\circ = \cos^2 70^\circ$

$\cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ$

$(\sin 70^\circ + \sin 20^\circ)^2 = \sin^2 70^\circ + \sin 40^\circ + \cos^2 70^\circ = (\sin^2 70^\circ + \cos^2 70^\circ) + \sin 40^\circ = 1 + \sin 40^\circ$

次に、$2\tan 70^\circ \cos^2 70^\circ$ を変形します。

$2\tan 70^\circ \cos^2 70^\circ = 2 \frac{\sin 70^\circ}{\cos 70^\circ} \cos^2 70^\circ = 2 \sin 70^\circ \cos 70^\circ$

ここで、$2 \sin A \cos A = \sin 2A$であるから、

$2 \sin 70^\circ \cos 70^\circ = \sin(2 \times 70^\circ) = \sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$

したがって、与えられた式は

$(\sin 70^\circ + \sin 20^\circ)^2 - 2\tan 70^\circ \cos^2 70^\circ = (1 + \sin 40^\circ) - \sin 40^\circ = 1$

3. 最終的な答え

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