与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ (2) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$

(2) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

2. 解き方の手順

(1)

式を展開し、整理します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

$a$ について整理します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2 = (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$(b+c)$ でくくり出します。

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)] = (b+c)(a+b)(a+c)$

よって、$(a+b)(b+c)(c+a)$

(2)

式を展開し、整理します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

$a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 3bc) + (b^2c + bc^2)$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2 + bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a((b+c)^2 + bc) + bc(b+c)$

$= (b+c) a^2 + (b^2 + 3bc + c^2) a + bc(b+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$の形になることを期待して因数分解できるか試みる。

$(a+b)(a+c)(b+c) = (a^2 + ac + ab + bc)(b+c) = a^2b + a^2c + abc + ac^2 + ab^2 + abc + b^2c + bc^2 = a^2b + a^2c + b^2c + c^2b + ab^2 + ac^2 + 2abc$

元の式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

差は $abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + ab^2 + 2abc + abc$

$= a^2b + a^2c + b^2c + c^2b + ab^2 + ac^2 + 3abc$

$a, b, c$ についての対称式であるため、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を含む形になることが予想できる。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + ba + c^2 + ca) = abc + ba^2 + ac^2 + ca^2 + b^2c + b^2a + bc^2 + c^2b = (a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + c^2b + 2abc) = a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$

よって $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$= (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

そこで、$a, b, c$ のいずれかを $-a, -b, -c$ に置き換えても成立するか調べる。

与式を $f(a, b, c)$ とおく。

$f(a, b, c) = a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

$f(-a, b, c) = (-a)^2(b+c) + b^2(c-a) + c^2(-a+b) + 3(-a)bc = a^2(b+c) + b^2c - b^2a - c^2a + c^2b - 3abc = a^2(b+c) - a(b^2+c^2+3bc) + bc(b+c)$

この式は因数分解できない。

与式に $a=-b$ を代入すると、$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = b^2(b+c) + b^2(c-b) + c^2(-b+b) + 3(-b)bc = b^3 + b^2c + b^2c - b^3 + 0 - 3b^2c = -b^2c + 2b^2c - 3b^2c + b^3 - b^3 = -b^2c \ne 0$

また、$f(a,b,c)=a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+3abc$ を

$f(a,b,c) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc$と見る

$f(a,b,c) = ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$