与えられた等比数列 $1, -2, 4, -8, \dots$ について、以下の問題を解く。 (1) 一般項 $a_n$ を求める。 (2) 第10項 $a_{10}$ を求める。 (3) -2048 は第何項か。

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $1, -2, 4, -8, \dots$ について、以下の問題を解く。

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

(2) 第10項 $a_{10}$ を求める。

(3) -2048 は第何項か。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項の番号である。

与えられた数列の初項は $a_1 = 1$ である。

公比は $r = \frac{-2}{1} = -2$ である。

よって、一般項は

$a_n = 1 \cdot (-2)^{n-1} = (-2)^{n-1}$

(2) 第10項 $a_{10}$ を求めるには、一般項の式に $n = 10$ を代入する。

$a_{10} = (-2)^{10-1} = (-2)^9 = -512$

(3) -2048が第何項かを求めるには、$a_n = -2048$ となる $n$ を求める。

$(-2)^{n-1} = -2048$

$-2048 = (-2)^{11}$ であるから、

$(-2)^{n-1} = (-2)^{11}$

よって、$n-1 = 11$

$n = 12$

3. 最終的な答え

(1) 一般項： $a_n = (-2)^{n-1}$

(2) 第10項： $a_{10} = -512$

(3) -2048 は第12項