$k$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 + 3x + 1 - k = 0$ と $x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 = 0$ がともに実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$k$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 + 3x + 1 - k = 0$ と $x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 = 0$ がともに実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2つの2次方程式がともに実数解を持つための条件は、それぞれの判別式が0以上であることである。

まず、1つ目の2次方程式 $2x^2 + 3x + 1 - k = 0$ の判別式を $D_1$ とする。

$D_1 = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - k) = 9 - 8 + 8k = 1 + 8k$

これが0以上であるためには、

$1 + 8k \geq 0$

$8k \geq -1$

$k \geq -\frac{1}{8}$

次に、2つ目の2次方程式 $x^2 - 2kx + k^2 + k - 3 = 0$ の判別式を $D_2$ とする。

$D_2 = (-2k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 + k - 3) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 12 = -4k + 12$

これが0以上であるためには、

$-4k + 12 \geq 0$

$-4k \geq -12$

$k \leq 3$

したがって、$k$ の値の範囲は $-\frac{1}{8} \leq k \leq 3$ となる。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{8} \leq k \leq 3$