$x = 2 - \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求める問題です。 (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ (5) $x^5 + \frac{1}{x^5}$

1. 問題の内容

$x = 2 - \sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求める問題です。

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

(5) $x^5 + \frac{1}{x^5}$

2. 解き方の手順

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の計算

まず、$\frac{1}{x}$ を求めます。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

分母を有理化します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

次に、$x + \frac{1}{x}$ を計算します。

$x + \frac{1}{x} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$

$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求めます。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

$x + \frac{1}{x} = 4$ なので

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の計算

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4}$ より

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$ なので

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 14^2 - 2 = 196 - 2 = 194$

(5) $x^5 + \frac{1}{x^5}$ の計算

$(x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5}$

よって、

$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x})$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

$x + \frac{1}{x} = 4$ なので

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \cdot 4 = 64 - 12 = 52$

したがって、

$x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) - (x + \frac{1}{x}) = 14 \cdot 52 - 4 = 728 - 4 = 724$

3. 最終的な答え

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$

(4) $x^4 + \frac{1}{x^4} = 194$

(5) $x^5 + \frac{1}{x^5} = 724$