直島さんが $a = b$ という等式を変形した結果、$1 = 2$ という結論に至った。変形過程には誤りがあるため、誤っている変形を全て選び、その理由を答える問題です。ただし、$a, b$ は実数で、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ である。

1. 問題の内容

直島さんが $a = b$ という等式を変形した結果、$1 = 2$ という結論に至った。変形過程には誤りがあるため、誤っている変形を全て選び、その理由を答える問題です。ただし、$a, b$ は実数で、$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ である。

2. 解き方の手順

与えられた各ステップを吟味し、数学的に誤りがある箇所を特定します。

ステップ1: $a = b$

ステップ2: $ab = b^2$

両辺に $b$ を掛けているので、問題ありません。

ステップ3: $ab - a^2 = b^2 - a^2$

両辺から $a^2$ を引いているので、問題ありません。

ステップ4: $ab - a^2 = (b + a)(b - a)$

左辺は $a(b-a)$ になるはずなので誤り。$ab - a^2=a(b-a)$。

右辺は因数分解で正しい。

ステップ5: $a(b - a) = (b + a)(b - a)$

ステップ4の左辺が間違っているので、ここは修正して考えます。$a(b-a)=(b+a)(b-a)$

ステップ6: $a = b + a$

両辺を $(b - a)$ で割っています。$a = b$ より $b - a = 0$ なので、0で割ることはできません。これが誤りです。

ステップ7: $a = a + a = 2a$

$a=b$より、$a=a+a=2a$は正しい。

ステップ8: $1 = 2$

両辺を $a$ で割っています。$a\neq 0$なので、割ることができ、誤りはありません。

しかし、これは$a=b+a$が誤っていたため。

結論:

ステップ4: $ab - a^2 = (b+a)(b-a)$の左辺の因数分解が誤り。正しくは$a(b-a)=(b+a)(b-a)$.

ステップ6: 両辺を $b - a$ で割ることが誤り。$a = b$ より $b - a = 0$ なので、0で割ることはできない。

3. 最終的な答え

誤りの番号は 4 と 6 です。

4の理由：

$ab - a^2 = a(b-a)$ と因数分解されるべきだが、$ab-a^2=(b+a)(b-a)$となっているのが誤り。

6の理由：

$a=b$なので、$b-a=0$となり、$a(b-a)=(b+a)(b-a)$の両辺を0で割っているため。