与えられた条件を満たす等比数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。公比 $r$ は実数です。 (1) 第4項が1、第7項が8 (2) 初項が4、第3項が1 (3) 初項が2、初項から第3項までの和が14

はい、承知いたしました。等比数列の一般項を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす等比数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。公比 $r$ は実数です。

(1) 第4項が1、第7項が8

(2) 初項が4、第3項が1

(3) 初項が2、初項から第3項までの和が14

2. 解き方の手順

(1) 第4項が1、第7項が8の場合

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。

第4項が1より、$a_4 = a_1 r^{4-1} = a_1 r^3 = 1$

第7項が8より、$a_7 = a_1 r^{7-1} = a_1 r^6 = 8$

$a_1 r^6 = 8$ を $a_1 r^3 = 1$ で割ると、

$\frac{a_1 r^6}{a_1 r^3} = \frac{8}{1}$

$r^3 = 8$

$r = 2$

$a_1 r^3 = 1$ に $r=2$ を代入すると、

$a_1 (2^3) = 1$

$8a_1 = 1$

$a_1 = \frac{1}{8}$

したがって、一般項は $a_n = \frac{1}{8} \cdot 2^{n-1} = 2^{-3} \cdot 2^{n-1} = 2^{n-4}$

(2) 初項が4、第3項が1の場合

初項が4より、$a_1 = 4$

第3項が1より、$a_3 = a_1 r^{3-1} = a_1 r^2 = 1$

$a_1 r^2 = 1$ に $a_1 = 4$ を代入すると、

$4 r^2 = 1$

$r^2 = \frac{1}{4}$

$r = \pm \frac{1}{2}$

$r = \frac{1}{2}$ のとき、$a_n = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{-(n-1)} = 2^{3-n}$

$r = -\frac{1}{2}$ のとき、$a_n = 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^2 \cdot (-1)^{n-1} \cdot 2^{-(n-1)} = (-1)^{n-1} \cdot 2^{3-n}$

(3) 初項が2、初項から第3項までの和が14の場合

初項が2より、$a_1 = 2$

初項から第3項までの和が14より、$a_1 + a_2 + a_3 = 14$

$2 + 2r + 2r^2 = 14$

$2r^2 + 2r - 12 = 0$

$r^2 + r - 6 = 0$

$(r+3)(r-2) = 0$

$r = -3, 2$

$r = 2$ のとき、$a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

$r = -3$ のとき、$a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n-4}$

(2) $a_n = 2^{3-n}$ または $a_n = (-1)^{n-1} \cdot 2^{3-n}$

(3) $a_n = 2^n$ または $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$