与えられた式 $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24$ を因数分解し、簡単な形に整理する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24$ を因数分解し、簡単な形に整理する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$(x+1)(x-2)$ と $(x+3)(x-4)$ に分けて展開します。

$(x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$

$(x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$

次に、$(x^2 - x - 2)(x^2 - x - 12)$ を展開します。

ここで、$y = x^2 - x$ と置換すると、式は $(y - 2)(y - 12)$ となります。

これを展開すると、$y^2 - 14y + 24$ となります。

元の式に戻すと、$(x^2 - x)^2 - 14(x^2 - x) + 24$ となります。

与えられた式に $+24$ を加えると、

$(x^2 - x)^2 - 14(x^2 - x) + 24 + 24 = (x^2 - x)^2 - 14(x^2 - x) + 48$ となります。

ここで、$z = x^2 - x$ と置換すると、$z^2 - 14z + 48$ となります。

これを因数分解すると、$(z - 6)(z - 8)$ となります。

元の式に戻すと、$(x^2 - x - 6)(x^2 - x - 8)$ となります。

さらに、$x^2 - x - 6$ を因数分解すると、$(x - 3)(x + 2)$ となります。

したがって、最終的な式は $(x - 3)(x + 2)(x^2 - x - 8)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+2)(x^2-x-8)$