複素数 $\alpha$ と $\beta$ に対して、次の2つの式が成り立つことを示す問題です。 (1) $\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ (2) $\overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha} \ \overline{\beta}$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ と $\beta$ に対して、次の2つの式が成り立つことを示す問題です。

(1) $\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$

(2) $\overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha} \ \overline{\beta}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ の証明

$\alpha = a + bi$, $\beta = c + di$ (ただし、$a, b, c, d$ は実数) とおきます。

$\alpha + \beta = (a + c) + (b + d)i$

$\overline{\alpha + \beta} = (a + c) - (b + d)i = a + c - bi - di = (a - bi) + (c - di)$

$\overline{\alpha} = a - bi$

$\overline{\beta} = c - di$

$\overline{\alpha} + \overline{\beta} = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i$

したがって、$\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ が成り立ちます。

(2) $\overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha} \ \overline{\beta}$ の証明

$\alpha = a + bi$, $\beta = c + di$ (ただし、$a, b, c, d$ は実数) とおきます。

$\alpha \beta = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

$\overline{\alpha \beta} = (ac - bd) - (ad + bc)i$

$\overline{\alpha} = a - bi$

$\overline{\beta} = c - di$

$\overline{\alpha} \ \overline{\beta} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 = (ac - bd) - (ad + bc)i$

したがって、$\overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha} \ \overline{\beta}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{\alpha + \beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$

(2) $\overline{\alpha \beta} = \overline{\alpha} \ \overline{\beta}$