三角形 ABC において、$a = 1 + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{6}$, $c = 2$ のとき、残りの角 A, B, C の大きさを求めます。

## (1) の問題

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$a = 1 + \sqrt{3}$, $b = \sqrt{6}$, $c = 2$ のとき、残りの角 A, B, C の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角 A を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$(1 + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2^2 - 2(\sqrt{6})(2) \cos A$

$1 + 2\sqrt{3} + 3 = 6 + 4 - 4\sqrt{6} \cos A$

$4 + 2\sqrt{3} = 10 - 4\sqrt{6} \cos A$

$4\sqrt{6} \cos A = 6 - 2\sqrt{3}$

$\cos A = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4\sqrt{6}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6} - \sqrt{18}}{12} = \frac{3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$A = 75^{\circ}$

次に、余弦定理を用いて角 B を求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$(\sqrt{6})^2 = (1 + \sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1 + \sqrt{3})(2) \cos B$

$6 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 + 4 - 4(1 + \sqrt{3}) \cos B$

$6 = 8 + 2\sqrt{3} - 4(1 + \sqrt{3}) \cos B$

$4(1 + \sqrt{3}) \cos B = 2 + 2\sqrt{3}$

$\cos B = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4(1 + \sqrt{3})} = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{4(1 + \sqrt{3})} = \frac{1}{2}$

$B = 60^{\circ}$

最後に、三角形の内角の和は $180^{\circ}$ なので、角 C を求めます。

$C = 180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$

3. 最終的な答え

$A = 75^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$, $C = 45^{\circ}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

三角形 ABC において、$a = \sqrt{6}$, $b = 2\sqrt{3}$, $c = 3 + \sqrt{3}$ のとき、残りの角 A, B, C の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角 B を求めます。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$(2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 + (3 + \sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{6})(3 + \sqrt{3}) \cos B$

$12 = 6 + 9 + 6\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{6}(3 + \sqrt{3}) \cos B$

$12 = 18 + 6\sqrt{3} - 2(3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}) \cos B$

$2(3\sqrt{6} + 3\sqrt{2}) \cos B = 6 + 6\sqrt{3}$

$\cos B = \frac{6 + 6\sqrt{3}}{2(3\sqrt{6} + 3\sqrt{2})} = \frac{6(1 + \sqrt{3})}{6(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{18} - \sqrt{6}}{6 - 2} = \frac{-\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$B = 45^{\circ}$

次に、余弦定理を用いて角 A を求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$(\sqrt{6})^2 = (2\sqrt{3})^2 + (3 + \sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) \cos A$

$6 = 12 + 9 + 6\sqrt{3} + 3 - 4\sqrt{3}(3 + \sqrt{3}) \cos A$

$6 = 24 + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3}(3 + \sqrt{3}) \cos A$

$4\sqrt{3}(3 + \sqrt{3}) \cos A = 18 + 6\sqrt{3}$

$4(3\sqrt{3} + 3) \cos A = 18 + 6\sqrt{3}$

$12(\sqrt{3} + 1) \cos A = 6(3 + \sqrt{3})$

$\cos A = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{12(1 + \sqrt{3})} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{(3 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{2(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{2(1 - 3)} = \frac{-2\sqrt{3}}{-4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$A = 30^{\circ}$

最後に、三角形の内角の和は $180^{\circ}$ なので、角 C を求めます。

$C = 180^{\circ} - A - B = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}$

3. 最終的な答え

$A = 30^{\circ}$, $B = 45^{\circ}$, $C = 105^{\circ}$