$x$ の2次方程式 $x^2 + 4kx + 3k^2 = 0$ が $x = -2$ を解にもつような定数 $k$ の値を求め、そのときの他の解を求める問題です。ただし、$k$ の値は2つあり、$k$ の小さい方をア、大きい方をイとします。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $x^2 + 4kx + 3k^2 = 0$ が $x = -2$ を解にもつような定数 $k$ の値を求め、そのときの他の解を求める問題です。ただし、$k$ の値は2つあり、$k$ の小さい方をア、大きい方をイとします。

2. 解き方の手順

(1) $x = -2$ を方程式 $x^2 + 4kx + 3k^2 = 0$ に代入して、$k$ についての方程式を解きます。

$(-2)^2 + 4k(-2) + 3k^2 = 0$

$4 - 8k + 3k^2 = 0$

$3k^2 - 8k + 4 = 0$

$(3k - 2)(k - 2) = 0$

$k = \frac{2}{3}, 2$

$k$ の小さい方をア、大きい方をイとすると、$k = \frac{2}{3}$ がア、$k = 2$ がイです。

(2) $k = \frac{2}{3}$ のとき、方程式は $x^2 + 4 \cdot \frac{2}{3}x + 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 0$

$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0$

$3x^2 + 8x + 4 = 0$

$(3x + 2)(x + 2) = 0$

$x = -2, -\frac{2}{3}$

したがって、もう一つの解は $x = -\frac{2}{3}$ です。

$k = 2$ のとき、方程式は $x^2 + 4 \cdot 2x + 3 \cdot 2^2 = 0$

$x^2 + 8x + 12 = 0$

$(x + 2)(x + 6) = 0$

$x = -2, -6$

したがって、もう一つの解は $x = -6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{2}{3}, 2$

(2) $k = \frac{2}{3}$ のとき、他の解は $x = -\frac{2}{3}$

$k = 2$ のとき、他の解は $x = -6$