2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。ただし、$m \neq 0$ とする。

1. 問題の内容

2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ が重解を持つような定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求める。ただし、$m \neq 0$ とする。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることです。

まず、与えられた2次方程式の判別式を計算します。

$D = (-4m)^2 - 4 \cdot m \cdot (-2m + 4)$

$D = 16m^2 - 4m(-2m + 4)$

$D = 16m^2 + 8m^2 - 16m$

$D = 24m^2 - 16m$

重解を持つためには $D=0$ である必要があるので、

$24m^2 - 16m = 0$

$8m(3m - 2) = 0$

$m=0$ または $3m - 2 = 0$

$m=0$ または $m = \frac{2}{3}$

ただし、$m \neq 0$ という条件があるので、$m = \frac{2}{3}$ のみが条件を満たします。

$m = \frac{2}{3}$ のとき、2次方程式は

$\frac{2}{3}x^2 - 4 \cdot \frac{2}{3}x - 2 \cdot \frac{2}{3} + 4 = 0$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{4}{3} + 4 = 0$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{8}{3} = 0$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

3. 最終的な答え

$m = \frac{2}{3}$ のとき、重解は $x = 2$ である。