以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x+x^2})$

## 数学の問題の解答

以下に、問題画像にある数学の問題を解答します。

### 問2.10

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x+x^2})$

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x+x^2}) = \lim_{x \to 0} \frac{x+x^2 - \sin x}{\sin x (x+x^2)}$

ここで、$\sin x$ をテイラー展開で近似します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

これを代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x+x^2 - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots)}{(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots)(x+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \dots}{x^2 + x^3 - \frac{x^4}{6} - \frac{x^5}{6} + \dots}$

分子と分母を $x^2$ で割ると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x}{6} - \frac{x^3}{120} + \dots}{1 + x - \frac{x^2}{6} - \frac{x^3}{6} + \dots}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{x}{6}, \frac{x^3}{120}, x, \frac{x^2}{6}, \frac{x^3}{6}$ などは0に近づくので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x}{6} - \frac{x^3}{120} + \dots}{1 + x - \frac{x^2}{6} - \frac{x^3}{6} + \dots} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

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