次の微分方程式が完全微分形であることを確かめ、一般解を求めます。 $(3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3)dx + (2ye^{3x^2+2y^2} + 4y^3)dy = 0$

## 問題6

1. 問題の内容

次の微分方程式が完全微分形であることを確かめ、一般解を求めます。

$(3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3)dx + (2ye^{3x^2+2y^2} + 4y^3)dy = 0$

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ と比較すると、

$M(x, y) = 3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3$

$N(x, y) = 2ye^{3x^2+2y^2} + 4y^3$

この微分方程式が完全微分形であるためには、次の条件が満たされる必要があります。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

偏微分を計算すると、

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3) = 3x(4y)e^{3x^2+2y^2} = 12xye^{3x^2+2y^2}$

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2ye^{3x^2+2y^2} + 4y^3) = 2y(6x)e^{3x^2+2y^2} = 12xye^{3x^2+2y^2}$

したがって、$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ であるため、与えられた微分方程式は完全微分形です。

次に、関数 $F(x, y)$ を見つけます。これは、次を満たすものです。

$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x, y)$

$\frac{\partial F}{\partial y} = N(x, y)$

最初の式を $x$ で積分すると、

$F(x, y) = \int M(x, y) dx = \int (3xe^{3x^2+2y^2} + 6x^3) dx = \frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + \frac{3}{2}x^4 + g(y)$

ここで、$g(y)$ は $y$ のみの関数です。次に、$F(x, y)$ を $y$ で偏微分すると、

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + \frac{3}{2}x^4 + g(y)) = 2ye^{3x^2+2y^2} + g'(y)$

これを $N(x, y)$ と比較すると、

$2ye^{3x^2+2y^2} + g'(y) = 2ye^{3x^2+2y^2} + 4y^3$

$g'(y) = 4y^3$

これを $y$ で積分すると、$g(y) = y^4 + C_1$ となります。

したがって、

$F(x, y) = \frac{1}{2}e^{3x^2+2y^2} + \frac{3}{2}x^4 + y^4 = C$

両辺に2をかけて

$e^{3x^2+2y^2} + 3x^4 + 2y^4 = C$

3. 最終的な答え

一般解は $e^{3x^2+2y^2} + 3x^4 + 2y^4 = C$ です。

## 問題7

1. 問題の内容

$(2xy \log y) dx + (x^2+3y^2)dy = 0$ という微分方程式に対し、$x^\alpha y^\beta$ 型の積分因子を見つけて、一般解を求めます。

2. 解き方の手順

$M(x,y)=2xy \log y$

$N(x,y)=x^2+3y^2$

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2x \log y + 2x$

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ であるので完全微分形ではない。

積分因子を $\mu(x, y) = x^\alpha y^\beta$ とすると、

$\mu M dx + \mu N dy = 0$ が完全微分形になる。

$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$

$\frac{\partial (x^\alpha y^\beta 2xy \log y)}{\partial y} = \frac{\partial (x^\alpha y^\beta (x^2+3y^2))}{\partial x}$

$\frac{\partial (2x^{\alpha+1} y^{\beta+1} \log y)}{\partial y} = \frac{\partial (x^{\alpha+2}y^\beta + 3x^\alpha y^{\beta+2})}{\partial x}$

$2x^{\alpha+1} ((\beta+1)y^\beta \log y + y^\beta) = (\alpha+2)x^{\alpha+1}y^\beta + 3\alpha x^{\alpha-1} y^{\beta+2}$

$2(\beta+1) \log y + 2 = \alpha + 2 + \frac{3\alpha y^2}{x^2}$

$\alpha=0$ を仮定すると

$2(\beta+1) \log y + 2 = 2$

$2(\beta+1) \log y = 0$

$\beta = -1$

$\mu(x, y) = x^0 y^{-1} = \frac{1}{y}$

微分方程式に適用すると、

$2x \log y dx + (\frac{x^2}{y} + 3y) dy = 0$

$\frac{\partial (2x \log y)}{\partial y} = \frac{2x}{y}$

$\frac{\partial (\frac{x^2}{y} + 3y)}{\partial x} = \frac{2x}{y}$

完全微分形になった。

関数$F(x, y)$を求める。

$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x \log y$

$F(x, y) = x^2 \log y + h(y)$

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{x^2}{y} + h'(y) = \frac{x^2}{y} + 3y$

$h'(y) = 3y$

$h(y) = \frac{3}{2}y^2 + C_1$

$F(x, y) = x^2 \log y + \frac{3}{2}y^2 = C$

3. 最終的な答え

一般解は $x^2 \log y + \frac{3}{2}y^2 = C$ です。