次の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(3x^2+1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数 (2) $(2x-y^2)^8$ の展開式における $x^4y^8$ の項の係数 (3) $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の項の係数

1. 問題の内容

次の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(3x^2+1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数

(2) $(2x-y^2)^8$ の展開式における $x^4y^8$ の項の係数

(3) $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の項の係数

2. 解き方の手順

(1) $(3x^2+1)^5$ の展開式における $x^6$ の項の係数

二項定理より、$(3x^2+1)^5$ の一般項は

${}_5 C_r (3x^2)^r (1)^{5-r} = {}_5 C_r 3^r x^{2r}$

$x^6$ の項は $2r = 6$ より $r = 3$ のときである。

よって、係数は

${}_5 C_3 \cdot 3^3 = \frac{5!}{3!2!} \cdot 27 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 27 = 10 \cdot 27 = 270$

(2) $(2x-y^2)^8$ の展開式における $x^4y^8$ の項の係数

二項定理より、$(2x-y^2)^8$ の一般項は

${}_8 C_r (2x)^r (-y^2)^{8-r} = {}_8 C_r 2^r (-1)^{8-r} x^r y^{16-2r}$

$x^4y^8$ の項は $r=4$ かつ $16-2r=8$ のときである。$r=4$ を代入すると、 $16 - 2(4) = 16 - 8 = 8$ となり、条件を満たす。

よって、係数は

${}_8 C_4 \cdot 2^4 \cdot (-1)^{8-4} = \frac{8!}{4!4!} \cdot 16 \cdot (-1)^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 16 \cdot 1 = 70 \cdot 16 = 1120$

(3) $(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の項の係数

$(2x^3-3x)^5 = x^5 (2x^2-3)^5$ であるから、$x^5 (2x^2-3)^5$ の展開式における $x^9$ の項は、$(2x^2-3)^5$ の展開式における $x^4$ の項を求めればよい。

二項定理より、$(2x^2-3)^5$ の一般項は

${}_5 C_r (2x^2)^r (-3)^{5-r} = {}_5 C_r 2^r (-3)^{5-r} x^{2r}$

$x^4$ の項は $2r = 4$ より $r = 2$ のときである。

係数は ${}_5 C_2 \cdot 2^2 \cdot (-3)^{5-2} = {}_5 C_2 \cdot 2^2 \cdot (-3)^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot 4 \cdot (-27) = 10 \cdot 4 \cdot (-27) = -1080$

したがって、$(2x^3-3x)^5$ の展開式における $x^9$ の項の係数は $-1080$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 270

(2) 1120

(3) -1080