$\sum_{k=1}^{n} (2k + 1)$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k + 1)$ を計算してください。

2. 解き方の手順

シグマ記号の性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k + 1) = \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 1$

定数倍の性質を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ であることを利用します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= n(n+1) + n = n^2 + n + n = n^2 + 2n = n(n+2)$

3. 最終的な答え

$n(n+2)$