与えられた式 $(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2+x+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$ の部分を展開します。これは、$(A+x)(A-x)$ という形をしているので、$A^2 - x^2$ という公式を利用できます。ここで、$A = x^2+1$ と置くと、

$$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = ((x^2+1)+x)((x^2+1)-x) = (x^2+1)^2 - x^2$$

$(x^2+1)^2$ を展開すると、

$$(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$$

したがって、

$$(x^2+x+1)(x^2-x+1) = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = x^4 + x^2 + 1$$

次に、$(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1)$ を展開します。これも、$(A+x^2)(A-x^2)$ という形をしているので、$A^2 - (x^2)^2$ という公式を利用できます。ここで、$A = x^4+1$ と置くと、

$$(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1) = ((x^4+1)+x^2)((x^4+1)-x^2) = (x^4+1)^2 - (x^2)^2$$

$(x^4+1)^2$ を展開すると、

$$(x^4+1)^2 = x^8 + 2x^4 + 1$$

したがって、

$$(x^4+x^2+1)(x^4-x^2+1) = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = x^8 + x^4 + 1$$

3. 最終的な答え

$x^8+x^4+1$