$5 - \sqrt{3}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、 $\frac{b}{2a - 3b}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$5 - \sqrt{3}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、 $\frac{b}{2a - 3b}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、 $\sqrt{3}$ のおおよその値を考えます。 $\sqrt{3}$ は1より大きく、2より小さい数です。 $1^2 = 1$ 、 $2^2 = 4$ なので、$1 < \sqrt{3} < 2$ です。さらに、$1.7^2 = 2.89$、$1.8^2 = 3.24$ なので、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ です。ここでは、$\sqrt{3} \approx 1.7$ とします。

したがって、$5 - \sqrt{3} \approx 5 - 1.7 = 3.3$ となります。

$5 - \sqrt{3}$ の整数部分 $a$ は $3$ です。

小数部分 $b$ は $(5 - \sqrt{3}) - 3 = 2 - \sqrt{3}$ です。

$\frac{b}{2a - 3b}$ に $a = 3$ 、 $b = 2 - \sqrt{3}$ を代入します。

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2(3) - 3(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{6 - 6 + 3\sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$

分母の有理化を行います。分子と分母に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{(2 - \sqrt{3})\sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3} - 3}{9}$