2つの直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る双曲線の方程式を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求めます。

1. 問題の内容

2つの直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る双曲線の方程式を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求めます。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=2$ と $y=-1$ であることから、

$$y = \frac{a(x-2)+b'}{c(x-2)+d'} = \frac{a(x-2)}{c(x-2)} + (-1) = \frac{ax+b}{cx+d}$$

の形にできるはずです。ここで、$\frac{a}{c} = -1$となるはずです。

そこで、与えられた関数 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ について、漸近線が $x=2$ および $y=-1$ となる条件を考えます。$x=2$ が漸近線であることから、$cx+d=0$ となる $x$ の値が $2$ である必要があります。したがって、

$$2c+d = 0$$

$$d = -2c$$

このとき、与えられた関数は $y = \frac{ax+b}{cx-2c}$ となります。

また、漸近線が $y=-1$ であることから、$y = \frac{a}{c} = -1$ が成り立ちます。したがって、

$$a = -c$$

与えられた関数は $y = \frac{-cx+b}{cx-2c}$ となります。

次に、この双曲線が点 $(3, 2)$ を通るという条件から、$x=3$ のとき $y=2$ となるので、

$$2 = \frac{-3c+b}{3c-2c} = \frac{-3c+b}{c}$$

$$2c = -3c+b$$

$$b = 5c$$

したがって、与えられた関数は $y = \frac{-cx+5c}{cx-2c}$ となります。ここで $c \neq 0$ であるから、分母分子を $c$ で割って、

$$y = \frac{-x+5}{x-2}$$

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+5}{x-2}$