問題は、線形代数の期末試験問題で、以下の4つの問題があります。 * **問題1:** 連立1次方程式 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 3 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ を解く。 * **問題2:** 行列式の計算 $\begin{vmatrix} 2 & 4 & 3 & 0 \\ 5 & 3 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ の値を求める。 * **問題3:** 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ について、 (1) $\det(A - tE) = 0$ となる実数 $t$ を全て求める。ここで $E$ は単位行列。 (2) (1) で求めた各 $t$ に対して、連立1次方程式 $(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求める。 * **問題4:** ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ a \end{bmatrix}$ が1次従属であるとき、 (1) 実数 $a$ の値を求める。 (2) $\mathbf{a}_3 = \lambda_1 \mathbf{a}_1 + \lambda_2 \mathbf{a}_2$ となる実数 $\lambda_1$, $\lambda_2$ を求める。

1. 問題の内容

問題は、線形代数の期末試験問題で、以下の4つの問題があります。

* **問題1:** 連立1次方程式

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 3 & 3 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$

を解く。

* **問題2:** 行列式の計算

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 3 & 0 \\ 5 & 3 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 \\ -3 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

の値を求める。

* **問題3:** 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ について、

(1) $\det(A - tE) = 0$ となる実数 $t$ を全て求める。ここで $E$ は単位行列。

(2) (1) で求めた各 $t$ に対して、連立1次方程式 $(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の一般解を求める。

* **問題4:** ベクトル $\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ a \end{bmatrix}$ が1次従属であるとき、

(1) 実数 $a$ の値を求める。

(2) $\mathbf{a}_3 = \lambda_1 \mathbf{a}_1 + \lambda_2 \mathbf{a}_2$ となる実数 $\lambda_1$, $\lambda_2$ を求める。

2. 解き方の手順

* **問題1:**

連立1次方程式を行列を用いて表現し、掃き出し法（ガウスの消去法）またはクラメルの公式を用いて解を求めます。

与えられた連立一次方程式は

$\begin{cases}

x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 1 \\

3x_1 + 3x_2 - x_3 = 4 \\

4x_1 + x_2 + 2x_3 = 3

\end{cases}$

と表せます。拡大係数行列は

$\begin{bmatrix}

1 & -2 & 3 & 1 \\

3 & 3 & -1 & 4 \\

4 & 1 & 2 & 3

\end{bmatrix}$

となります。

この行列を簡約化することで解を求めます。

* **問題2:**

4x4行列の行列式を計算します。余因子展開などを用いて行列のサイズを小さくしてから計算するか、直接計算します。

* **問題3:**

(1) $A - tE$ を計算し、その行列式を求めます。$\det(A - tE) = 0$ を満たす $t$ を求めます。これは固有値を求める問題です。

(2) 求めた各 $t$ に対して、$(A - tE)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{x}$ を求めます。これは固有ベクトルを求める問題です。

* **問題4:**

(1) 3つのベクトルが1次従属であることから、

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & a \end{vmatrix} = 0$

となる $a$ を求めます。

(2) 求めた $a$ の値を用いて、$\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ a \end{bmatrix} = \lambda_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} + \lambda_2 \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ を満たす $\lambda_1$, $\lambda_2$ を求めます。

3. 最終的な答え

（問題1）

$x_1 = 1$, $x_2 = 1$, $x_3 = \frac{2}{3}$

（問題2）

-12

（問題3）

(1) $t = 1, 2, 1$ （1が重根）

(2) $t=1$のとき、$\mathbf{x} = c_1\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}+ c_2\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c_1, c_2$は任意定数)

$t=2$のとき、$\mathbf{x} = c_3\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ ($c_3$は任意定数)

（問題4）

(1) $a = 3$

(2) $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 0.5$