(4) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 2$) の最小値と最大値を求め、そのときの $x$ の値を答える。 (5) 放物線 $y = 2x^2$ を平行移動し、2点 $(0, 6)$, $(3, 0)$ を通るようにしたとき、移動した放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

1. 問題の内容

(4) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 3$ ($0 \le x \le 2$) の最小値と最大値を求め、そのときの $x$ の値を答える。

(5) 放物線 $y = 2x^2$ を平行移動し、2点 $(0, 6)$, $(3, 0)$ を通るようにしたとき、移動した放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(4)

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + 4x - 3 = 2(x^2 + 2x) - 3 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3 = 2(x+1)^2 - 2 - 3 = 2(x+1)^2 - 5$

このグラフは下に凸であり、頂点は $(-1, -5)$ である。

定義域 $0 \le x \le 2$ における最小値と最大値を求める。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0+1)^2 - 5 = 2 - 5 = -3$

$x = 2$ のとき、$y = 2(2+1)^2 - 5 = 2(9) - 5 = 18 - 5 = 13$

また、$x = -1$ は定義域に含まれないので、頂点における値は考慮しない。

定義域の端の値を比較すると、$x = 0$ で最小値 $-3$ をとり、$x = 2$ で最大値 $13$ をとる。

(5)

平行移動した放物線の式を $y = 2(x-p)^2 + q$ とする。

これが点 $(0, 6)$ を通るので、

$6 = 2(0-p)^2 + q = 2p^2 + q$

また、点 $(3, 0)$ を通るので、

$0 = 2(3-p)^2 + q = 2(9 - 6p + p^2) + q = 18 - 12p + 2p^2 + q$

2つの式から $q$ を消去すると、

$6 - 2p^2 = 18 - 12p + 2p^2$

$0 = 4p^2 - 12p + 12$

$0 = p^2 - 3p + 3$

解の公式より、$p = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \times 3}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-3}}{2}$ となるが、これは実数解ではない。平行移動の式は $y = 2x^2 + bx + c$ と表すことができ、これが $(0, 6)$ を通るので $c = 6$。よって $y = 2x^2 + bx + 6$ となる。

これが $(3, 0)$ を通るので、$0 = 2(3^2) + 3b + 6 = 18 + 3b + 6 = 24 + 3b$

$3b = -24$ より $b = -8$

したがって、求める2次関数は $y = 2x^2 - 8x + 6$ である。

3. 最終的な答え

(4)

$x = -1$ のとき、最小値 $-5$ をとる。

$x = 2$ のとき、最大値 $13$ をとる。

(5)

$y = 2x^2 - 8x + 6$