(1) 頂点が $(-1, 4)$ で、点 $(1, -4)$ を通る放物線の式を求めよ。 (2) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ のグラフの頂点が $(b, -4)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。 (3) 2次関数 $y = -x^2 + 4x + 3$ ($0 \le x \le 3$) の最小値と最大値を求め、それぞれの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 頂点が $(-1, 4)$ で、点 $(1, -4)$ を通る放物線の式を求めよ。

(2) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ のグラフの頂点が $(b, -4)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

(3) 2次関数 $y = -x^2 + 4x + 3$ ($0 \le x \le 3$) の最小値と最大値を求め、それぞれの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が $(-1, 4)$ なので、求める放物線の式は $y = a(x + 1)^2 + 4$ と表せる。

この放物線が点 $(1, -4)$ を通るので、

$-4 = a(1 + 1)^2 + 4$

$-4 = 4a + 4$

$4a = -8$

$a = -2$

よって、求める放物線の式は $y = -2(x + 1)^2 + 4 = -2(x^2 + 2x + 1) + 4 = -2x^2 - 4x - 2 + 4 = -2x^2 - 4x + 2$ となる。

(2)

$y = x^2 - 6x + a = (x - 3)^2 - 9 + a$

頂点が $(b, -4)$ なので、

$b = 3$

$-9 + a = -4$

$a = 5$

(3)

$y = -x^2 + 4x + 3 = -(x^2 - 4x) + 3 = -(x - 2)^2 + 4 + 3 = -(x - 2)^2 + 7$

これは上に凸な放物線で、頂点は $(2, 7)$ である。

$0 \le x \le 3$ なので、

$x = 2$ のとき、最大値 $7$ をとる。

$x = 0$ のとき、$y = -(0 - 2)^2 + 7 = -4 + 7 = 3$

$x = 3$ のとき、$y = -(3 - 2)^2 + 7 = -1 + 7 = 6$

よって、$x = 0$ のとき、最小値 $3$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 - 4x + 2$

(2) $a = 5$, $b = 3$

(3) $x = 0$ のとき、最小値 $3$ をとる。 $x = 2$ のとき、最大値 $7$ をとる。