(5) 2次関数 $y = -x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $5$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したときの関数の式を求める。 (6) 2次関数 $y = 3x^2 - 12x + 13$ の最小値と最大値を求める。 (7) 2次関数 $y = -x^2 + 6x - 4$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(5) 2次関数 $y = -x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $5$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したときの関数の式を求める。

(6) 2次関数 $y = 3x^2 - 12x + 13$ の最小値と最大値を求める。

(7) 2次関数 $y = -x^2 + 6x - 4$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(5)

* 平行移動の公式を利用する。$x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するとき、$x$ を $x - p$, $y$ を $y - q$ に置き換える。

* 今回は $x$ 軸方向に $5$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動するので、$x$ を $x - 5$, $y$ を $y + 1$ に置き換える。

* $y + 1 = -(x - 5)^2$ より、$y = -(x - 5)^2 - 1$

* $y = -(x^2 - 10x + 25) - 1 = -x^2 + 10x - 25 - 1 = -x^2 + 10x - 26$

(6)

* 平方完成して、頂点を求める。

* $y = 3x^2 - 12x + 13 = 3(x^2 - 4x) + 13 = 3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 13 = 3(x - 2)^2 - 12 + 13 = 3(x - 2)^2 + 1$

* 頂点は $(2, 1)$ で、下に凸なグラフなので、最小値は $1$ である。

* 最大値は存在しない。

(7)

* 平方完成して、頂点を求める。

* $y = -x^2 + 6x - 4 = -(x^2 - 6x) - 4 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4 = -(x - 3)^2 + 9 - 4 = -(x - 3)^2 + 5$

* 頂点は $(3, 5)$ で、上に凸なグラフなので、最大値は $5$ である。

* 最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(5) $y = -x^2 + 10x - 26$

(6) 最小値は $1$。最大値はない。

(7) 最大値は $5$。最小値はない。