与えられた式 $x^2 + 2ax - 8a - 16$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2ax - 8a - 16$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。定数項と $a$ の項をまとめると、

$x^2 + 2ax - (8a + 16)$

となります。

ここで、$8a + 16 = 8(a+2)$ であることを利用すると、

$x^2 + 2ax - 8(a+2)$

となります。

次に、定数項 $-8(a+2)$ を見て、2つの数の積が $-8(a+2)$、和が $2a$ となるような2つの数を見つけます。

定数項を注意深く観察すると、$4(a+2)$ と $-2(a+2)$ は積が $-8(a+2)$ に近いことが分かります。

ここで、$x^2+2ax-8a-16$ を $x^2 + 2ax + a^2 - a^2 -8a - 16$ と変形してみます。

すると、$(x+a)^2 - (a^2 + 8a + 16)$ となります。

$(x+a)^2 - (a+4)^2$ と変形できます。

ここで、$A^2-B^2=(A+B)(A-B)$ を利用します。

$(x+a)^2 - (a+4)^2 = (x+a + a+4)(x+a - (a+4)) = (x+2a+4)(x-4)$

よって、$x^2 + 2ax - 8a - 16 = (x+2a+4)(x-4)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+2a+4)(x-4)$