写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x+y+z \\ -3x+4y \end{array}\right)$ で定義されるとき、この写像が線形写像であるかどうかを理由を付けて答える。

1. 問題の内容

写像 $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x+y+z \\ -3x+4y \end{array}\right)$ で定義されるとき、この写像が線形写像であるかどうかを理由を付けて答える。

2. 解き方の手順

線形写像であるためには、次の2つの条件を満たす必要がある。

(1) $f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$

(2) $f(c\mathbf{u}) = cf(\mathbf{u})$

ここで $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3$ であり、$c$ はスカラーである。

まず、条件(1)を確認する。

$\mathbf{u} = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right)$, $\mathbf{v} = \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right)$ とすると、

$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f\left(\begin{array}{c} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2) \\ -3(x_1+x_2)+4(y_1+y_2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x_1+2x_2+y_1+y_2+z_1+z_2 \\ -3x_1-3x_2+4y_1+4y_2 \end{array}\right)$

$f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) = \left(\begin{array}{c} 2x_1+y_1+z_1 \\ -3x_1+4y_1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 2x_2+y_2+z_2 \\ -3x_2+4y_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x_1+y_1+z_1+2x_2+y_2+z_2 \\ -3x_1+4y_1-3x_2+4y_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x_1+2x_2+y_1+y_2+z_1+z_2 \\ -3x_1-3x_2+4y_1+4y_2 \end{array}\right)$

よって、$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$ である。

次に、条件(2)を確認する。

$f(c\mathbf{u}) = f\left(\begin{array}{c} cx_1 \\ cy_1 \\ cz_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2(cx_1)+(cy_1)+(cz_1) \\ -3(cx_1)+4(cy_1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2cx_1+cy_1+cz_1 \\ -3cx_1+4cy_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} c(2x_1+y_1+z_1) \\ c(-3x_1+4y_1) \end{array}\right)$

$cf(\mathbf{u}) = c\left(\begin{array}{c} 2x_1+y_1+z_1 \\ -3x_1+4y_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} c(2x_1+y_1+z_1) \\ c(-3x_1+4y_1) \end{array}\right)$

よって、$f(c\mathbf{u}) = cf(\mathbf{u})$ である。

したがって、与えられた写像 $f$ は線形写像である。

3. 最終的な答え

線形写像である。