問題16：次の等比数列について、指定されたものを求めます。 (1) 公比が-2で、初項から第10項までの和が-1023であるときの初項を求めます。 (2) 初項が3で、公比が2で、和が93であるときの項数を求めます。 問題17：初項から第10項までの和が6、初項から第20項までの和が24である等比数列について、次のものを求めます。ただし、公比は実数とします。 (1) 初項から第30項までの和を求めます。 (2) 第31項から第40項までの和を求めます。 問題18：次の和を求めます。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2)$ (3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 6k)$ (4) $\sum_{k=1}^{n} (3k + 1)$ 問題19：次の数列の初項から第n項までの和を求めます。 (1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$ (2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$ 問題20：次の数列の一般項を求めます。 (1) 2, 102, 140, ... (2) ..., 124, ... 以下、問題16から問題19までを解きます。問題20は一部しか読めないため省略します。

1. 問題の内容

問題16：次の等比数列について、指定されたものを求めます。

(1) 公比が-2で、初項から第10項までの和が-1023であるときの初項を求めます。

(2) 初項が3で、公比が2で、和が93であるときの項数を求めます。

問題17：初項から第10項までの和が6、初項から第20項までの和が24である等比数列について、次のものを求めます。ただし、公比は実数とします。

(1) 初項から第30項までの和を求めます。

(2) 第31項から第40項までの和を求めます。

問題18：次の和を求めます。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 6k)$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (3k + 1)$

問題19：次の数列の初項から第n項までの和を求めます。

(1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$

(2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

問題20：次の数列の一般項を求めます。

(1) 2, 102, 140, ...

(2) ..., 124, ...

以下、問題16から問題19までを解きます。問題20は一部しか読めないため省略します。

2. 解き方の手順

問題16

(1) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を使用します。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

$S_{10} = \frac{a(1-(-2)^{10})}{1-(-2)} = -1023$

$\frac{a(1-1024)}{3} = -1023$

$a(-1023) = -3069$

$a = 3$

(2) $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$93 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$93 = 3(2^n - 1)$

$31 = 2^n - 1$

$32 = 2^n$

$2^5 = 2^n$

$n = 5$

問題17

$S_{10} = \frac{a(1-r^{10})}{1-r} = 6$

$S_{20} = \frac{a(1-r^{20})}{1-r} = 24$

$\frac{S_{20}}{S_{10}} = \frac{1-r^{20}}{1-r^{10}} = \frac{24}{6} = 4$

$1-r^{20} = 4(1-r^{10})$

$1-r^{20} = 4 - 4r^{10}$

$r^{20} - 4r^{10} + 3 = 0$

$(r^{10} - 1)(r^{10} - 3) = 0$

$r^{10} = 1$ or $r^{10} = 3$

$r=1$のとき、$S_{10} = 10a = 6$ より、$a=0.6$

$r^{10}=3$ のとき、$S_{10} = \frac{a(1-3)}{1-r}=6$、$\frac{-2a}{1-r}=6$

$r=1$でないことを確認. 実数という条件より、$r = \pm 3^{\frac{1}{10}}$

(1) $S_{30} = \frac{a(1-r^{30})}{1-r} = \frac{a(1-(r^{10})^3)}{1-r}$

$r^{10}=1$ の場合、$r=1$となり、数列は等差数列になるため問題文と矛盾。よって、$r^{10} = 3$の場合を考える。

$S_{30} = \frac{a(1-3^3)}{1-r} = \frac{a(-26)}{1-r}$

$\frac{a(1-3)}{1-r} = 6$ より $\frac{-2a}{1-r} = 6$、$\frac{a}{1-r} = -3$

$S_{30} = -3(-26) = 78$

(2) $S_{40} - S_{30} = \frac{a(r^{31}-r^{41})}{1-r}$

$S_{40}=\frac{a(1-r^{40})}{1-r} = \frac{a(1-(r^{10})^4)}{1-r} = \frac{a(1-3^4)}{1-r} = \frac{a(1-81)}{1-r} = \frac{a(-80)}{1-r}$

$\frac{a}{1-r} = -3$ より、$S_{40} = -3(-80) = 240$

$S_{40} - S_{30} = 240 - 78 = 162$

問題18

(1) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2) = 2\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1 - 3\sum_{k=1}^{n} k^2 = 2\frac{n(n+1)}{2} + 4n - 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = n(n+1) + 4n - \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} = n^2 + n + 4n - \frac{n(2n^2+3n+1)}{2} = n^2 + 5n - \frac{2n^3+3n^2+n}{2} = \frac{2n^2+10n-2n^3-3n^2-n}{2} = \frac{-2n^3 - n^2 + 9n}{2} = \frac{n(-2n^2 - n + 9)}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 6k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 6\sum_{k=1}^{n} k = (\frac{n(n+1)}{2})^2 - 6\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{12n(n+1)}{4} = \frac{n^2(n^2+2n+1)-12n^2-12n}{4} = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2 - 12n^2 - 12n}{4} = \frac{n^4 + 2n^3 - 11n^2 - 12n}{4} = \frac{n(n^3+2n^2-11n-12)}{4}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (3k+1) = 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{3n^2+3n+2n}{2} = \frac{3n^2+5n}{2} = \frac{n(3n+5)}{2}$

問題19

(1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots, (2n-1)^2$

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3)}{3} = \frac{n(2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3)}{3} = \frac{n(4n^2+6n+2-6n-3)}{3} = \frac{n(4n^2-1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots, \sum_{i=0}^{n-1} 2^i$

$a_n = \sum_{i=0}^{n-1} 2^i = \frac{1(1-2^n)}{1-2} = 2^n - 1$

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{2(1-2^n)}{1-2} - n = 2(2^n-1) - n = 2^{n+1} - 2 - n$

3. 最終的な答え

問題16

(1) 初項: 3

(2) 項数: 5

問題17

(1) 初項から第30項までの和: 78

(2) 第31項から第40項までの和: 162

問題18

(1) $\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

(2) $\frac{n(-2n^2 - n + 9)}{2}$

(3) $\frac{n(n^3+2n^2-11n-12)}{4}$

(4) $\frac{n(3n+5)}{2}$

問題19

(1) $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $2^{n+1} - n - 2$